高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)大學(xué) 李雨生等主講

高等數(shù)學(xué)課程是高等工科院校各專業(yè)學(xué)生必修的重要的基礎(chǔ)理論課。為學(xué)生培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，抽象思維和邏輯思維能力，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)后繼課程打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

1．函數(shù)、極限、連續(xù)

    理解函數(shù)的概念；了解函數(shù)的單調(diào)、有界、周期和奇偶等特性的含義；了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和函數(shù)的概念；熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖形；會(huì)建立簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系；了解各類極限的概念；了解極限與單側(cè)極限的關(guān)系；掌握極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則；掌握極限存在的準(zhǔn)則(夾逼定理、單調(diào)有界極限存在定理)并會(huì)運(yùn)用它們求極限；理解無窮小、無窮大的概念，會(huì)確定無窮小的階和利用等價(jià)無窮小求極限；理解函數(shù)連續(xù)的概念，會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型；了解初等函數(shù)的連續(xù)性；知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)并能應(yīng)用于簡單問題；演示與實(shí)驗(yàn)(一)。

    2．一元函數(shù)微分學(xué)

    理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義和作為變化率的其他一些實(shí)例；了解函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；變化率司題和相關(guān)變化率；熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算法則和復(fù)合運(yùn)算的鏈法則；熟悉基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表，能熟練求初等函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)；會(huì)求隱函數(shù)和參數(shù)形式函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)；演示與實(shí)驗(yàn)(二)，理解rolle定理、lagrange定理和taylor定理，了解cauchy定理，并會(huì)應(yīng)用它們解決一些簡單問題。掌握用導(dǎo)數(shù)判斷(或求)函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)和最值點(diǎn)的方法，掌握函數(shù)凸性的判斷和圖形拐點(diǎn)的求法，會(huì)求函數(shù)圖形的漸近線，會(huì)描繪函數(shù)圖形；掌握用l’hospital法則求極限的方法；知道曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算；知道利用導(dǎo)數(shù)和微分進(jìn)行近似計(jì)算和求方程的近似根；演示與實(shí)驗(yàn)(三)。

    3．一元函數(shù)積分學(xué)

    了解定積分概念的實(shí)際背景，了解不定積分的概念；理解定積分和不定積分的性質(zhì)；理解變上限積分的意義與性質(zhì)；理解并熟悉newton-leibniz公式；掌握換元積分和分部積分法；知道有理函數(shù)、三角函數(shù)和簡單無理函數(shù)積分的一般方法；了解廣義積分的概念并能進(jìn)行計(jì)算；了解定積分的近似計(jì)算方法；演示與實(shí)驗(yàn)(四)；掌握用定積分表達(dá)和汁算一些幾何何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力和函數(shù)平均值等)和其他應(yīng)用，并能解決一些實(shí)際問題。

    4．常微分方程

    了解微分方程的基本概念；會(huì)解一階變量可分離方程、齊次方程、線性方程、bernoulli方程，并能應(yīng)用于解決一些實(shí)際問題。會(huì)通過降階法解特殊的高階方程；了解一般線性微分方程的特性和解集合的結(jié)構(gòu)；掌握二階常系數(shù)齊次方程的解法和某些二階常系數(shù)非齊次方程(自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及它們的和與積)的解法；會(huì)解ruler方程；會(huì)解兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)微分方程組；知道微分方程的冪級(jí)數(shù)解法；會(huì)用微分方程(或方程組)解——些重要實(shí)際的問題；演示與實(shí)驗(yàn)(五)。

    5．向量代數(shù)和空間解析幾何

    理解向量的概念；掌握向量的的各種運(yùn)算并了解相應(yīng)的幾何意義；掌握向量夾角的求法和向量平行、垂直的條件；理解空間直角坐標(biāo)系的概念；熟悉向量、單位向量和方向余弦的坐標(biāo)表示；熟練掌握用坐標(biāo)進(jìn)行向量各種運(yùn)算的方法；熟悉平面和直線的各種方程及其求法；了解曲面方程的概念；了解常用二次曲面的方程和圖形，會(huì)求繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)面和以坐標(biāo)軸為母線的柱面的方程；了解空間曲線的參數(shù)方程和——般方程；了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影并會(huì)求方程；演示與實(shí)驗(yàn)(六)。

    6．多元函數(shù)微分學(xué)

    理解多元函數(shù)的概念；知道二元函數(shù)的極限、連續(xù)的概念和有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；理解偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)��?shù)和全微分的概念，了解梯度的概念，并了解它們之間的關(guān)系和計(jì)算法；掌握復(fù)合函數(shù) (包括隱函數(shù))一、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法；了解全微分存在的充分條件扣必要條件；了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，并會(huì)求它們的方程；知道二元函數(shù)taylor公式；理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值和用lagrange乘數(shù)法求條件極值并能應(yīng)用它求簡單的實(shí)際問題；演示與實(shí)驗(yàn)(七)。

    7．多元函數(shù)積分學(xué)

    理解重積分的概念；了解重積分的性質(zhì)；掌握二重積分(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))和三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))的計(jì)算方法；演示與實(shí)驗(yàn)(八)；理解兩類曲線積分的概念并了解它們的性質(zhì)和關(guān)系；掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法；熟悉green公式的形式和意義；會(huì)應(yīng)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)；會(huì)解全微分方程和某些有簡單積分因子的微分方程；曲面的參數(shù)方程；了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)和關(guān)系；了解gauss公式和stokes公式的形式和意義并應(yīng)用于計(jì)算，知道gauss公式(以及green公式)的向量形式；知道散度和旋度的概念和計(jì)算；會(huì)應(yīng)用重積分、曲面積分和曲線積分解決幾何上、物理上的有關(guān)問題；演示與實(shí)驗(yàn)(九)。

    8．無窮級(jí)數(shù)

    理解無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和收斂必要條件；熟悉幾何級(jí)數(shù)和p級(jí)數(shù)的收斂性；掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法(尤其是比值法)；掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的leibniz定理；了解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂和條件收斂的概念以及它們的關(guān)系；了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、收斂域以及和函數(shù)的概念；掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂域的求法；了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間的基本性質(zhì)并能由此求出某些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；知道函數(shù)展開為taylor級(jí)數(shù)的充要條件，掌握ex、sinx、cosx、ln(1+x)和ln(1-x)的maclaurin展開式，并能利用它們將一些簡單函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)；會(huì)用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行簡單的近似計(jì)算；了解fourier級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)逆行fourier展開的充分條件(circlet定理)，并能將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開為fourier級(jí)數(shù)和將定義在[0，1]上的函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)，能寫出某些fourier級(jí)數(shù)的和函數(shù)；演示與實(shí)驗(yàn)(十)。