本課程緊跟時(shí)代發(fā)展的需求，根據(jù)新工科建設(shè)對(duì)工科非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的代數(shù)基礎(chǔ)提出的新的要求和挑戰(zhàn)，以不受條條框框的限制的學(xué)術(shù)境界，重新演繹線性代數(shù)課程，有自身獨(dú)到見(jiàn)解和講解，將數(shù)學(xué)專業(yè)要求與新工科線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的深度改革進(jìn)行了很好融合。旨在引導(dǎo)非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工科學(xué)生從高觀點(diǎn)和視角認(rèn)識(shí)和掌握線性代數(shù)所研究?jī)?nèi)容的核心思想和精髓，建立創(chuàng)新思維和面向未來(lái)的數(shù)理基礎(chǔ)。在課程設(shè)計(jì)和建設(shè)方面具有以下幾個(gè)特色：
１、教學(xué)團(tuán)隊(duì)由天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)，國(guó)家杰出青年基金獲得者，國(guó)務(wù)院政府特殊津貼專家孫笑濤教授領(lǐng)銜，主講教師由獲得天津市或天津大學(xué)教學(xué)基本功競(jìng)賽一等獎(jiǎng)獲得者擔(dān)綱，具有很好的科研背景和教學(xué)基礎(chǔ)。
２、知識(shí)講解中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和線性代數(shù)應(yīng)用思想的滲透，對(duì)線性方程組、行列式、逆矩陣，線性變換，特征值等重要問(wèn)題增加了應(yīng)用方面的特別介紹，使學(xué)生可以理論與應(yīng)用相結(jié)合，既加深了對(duì)理論的理解，也可以體會(huì)到線性代數(shù)與其他一些學(xué)科的交叉以及在工程和生活中的強(qiáng)大應(yīng)用背景。
３、充分重視學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)感受，在嚴(yán)格追求知識(shí)的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性的同時(shí)，更關(guān)注講解方式的通俗易懂性以及趣味性，力求有效地降低學(xué)習(xí)中的枯燥感和抽象性。
４、充分結(jié)合天津大學(xué)在新工科建設(shè)以及多年來(lái)在線性代數(shù)教學(xué)改革中的好經(jīng)驗(yàn)，高觀點(diǎn)，低起點(diǎn)，在一般數(shù)域上探討問(wèn)題，在實(shí)數(shù)域上強(qiáng)化訓(xùn)練，為學(xué)習(xí)者進(jìn)一步學(xué)習(xí)更高層次的代數(shù)知識(shí)搭好橋梁，也為當(dāng)前需要提供助力。在知識(shí)結(jié)構(gòu)編排和引入順序等方面做了很多創(chuàng)新，開(kāi)篇先引入ｎ元向量、矩陣及其初等變換和線性方程組，使學(xué)生首先掌握貫穿線性代數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程的最重要的工具，建立起應(yīng)用它們研究和解決問(wèn)題的意識(shí)和準(zhǔn)備，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中事半功倍。后續(xù)逐步展開(kāi)的課程內(nèi)容中，既包含線性代數(shù)的一些傳統(tǒng)經(jīng)典理論教學(xué)內(nèi)容的梳理，更對(duì)矩陣運(yùn)算技巧、矩陣方程，逆矩陣、方程組等重要內(nèi)容做了專題強(qiáng)化，使學(xué)習(xí)者理論水平和計(jì)算技巧兩方面都得到收獲。
５、線性代數(shù)是理工科非數(shù)學(xué)專業(yè)必修公共基礎(chǔ)課，平時(shí)正常的線下課程，天津大學(xué)是５６學(xué)時(shí)，許多工科院校是４８學(xué)時(shí)，教學(xué)要求不盡相同。本課程的內(nèi)容編排順序和設(shè)置適合從３２－５６ 諸多學(xué)時(shí)要求的學(xué)習(xí)，適應(yīng)性比較廣，４８學(xué)時(shí)可以不學(xué)第６．５節(jié)以及一些應(yīng)用案例講解，３２學(xué)時(shí)可以不學(xué)習(xí)第五章和第６．５節(jié)以及一些應(yīng)用案例講解，不影響課程的體系和完整性。無(wú)論是線性代數(shù)課程的初學(xué)者，還是考研備考，或者只想部分知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)化學(xué)習(xí)，相信都會(huì)在課程中選擇到合適的內(nèi)容。
目前課程內(nèi)容共分為八章，分為基礎(chǔ)課程和升階課程。第一章到第七章為基礎(chǔ)課程，主要內(nèi)容為：第一章 矩陣的初等變換與線性方程組；第二章 行列式；第三章：矩陣；第四章 ｎ元向量空間；第五章 線性空間；第六章 特征值與特征向量、線性變換；第七章 二次型，這些內(nèi)容按計(jì)劃學(xué)習(xí)進(jìn)度分１２周發(fā)布。第八章僅作為課程拓展內(nèi)容，不設(shè)置測(cè)試內(nèi)容，不計(jì)入課程成績(jī)。 作為新工科建設(shè)代數(shù)基礎(chǔ)課程教學(xué)內(nèi)容深度改革的探索和實(shí)踐，我們推出了第八章專題內(nèi)容，由孫笑濤教授主講，闡述了線性代數(shù)學(xué)習(xí)的主要任務(wù)，從線性變換的表示方陣、不變子空間，講到酉空間、歐氏空間中的正規(guī)變換的標(biāo)準(zhǔn)形，全程板書(shū)，不用ｐｐｔ等輔助，高屋建瓴，按知識(shí)的內(nèi)在關(guān)系脈絡(luò)，將數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想循序闡述。 力求幫助學(xué)有余力的同學(xué)提高課業(yè)的深度和廣度，打通從工科線性代數(shù)到數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)的關(guān)鍵通道。
矩陣：一個(gè)數(shù)組。它的核心作用是它是線性方程組的一種判斷解和求解的方法。
系數(shù)矩陣：線性方程的所有系數(shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組。
增廣矩陣：系數(shù)和參數(shù)共同構(gòu)成的數(shù)組。
階梯型矩陣：每一行的第一個(gè)不為零的元素的左邊及其所在列以下全為零。
約束變?cè)c自由變?cè)悍橇阈械氖讉�(gè)非零元為約束變?cè)ɑ咀兞浚渌亩际亲杂勺冊(cè)ㄗ杂勺兞浚?/p>
解的唯一性：是否有唯一解的問(wèn)題；簡(jiǎn)化階梯型矩陣只有基本變量，就是唯一解，有自由變?cè)灿谢咀兞浚褪嵌鄠�(gè)解。如果有０＝ｂ一類的情況，就是無(wú)解。
平凡解：簡(jiǎn)單而顯而易見(jiàn)就能得到的解。
非平凡解：不那么容易得到的解。
向量：可以簡(jiǎn)單理解為由兩個(gè)數(shù)在二維空間確定的這個(gè)點(diǎn)和０點(diǎn)的連線。
ｓｐａｎ：所有向量生成的所有線性組合的一個(gè)子集。
單位矩陣：主對(duì)角線為１，其他為０。
線性組合或矩陣方程：列向量與矩陣的乘積。Ａｘ＝ｂ
齊次線性方程組：可以寫(xiě)成ＡＸ＝０形式的。
向量加法：其實(shí)就是向量平移。
解集：有多個(gè)解時(shí)解的集合，是形如ｗ＝ｐ＋（任意解）的集合。ｐ是自由向量。
線性相關(guān)：一個(gè)向量可以為其他的向量通過(guò)運(yùn)算所表示。線性無(wú)關(guān)與之相反。
函數(shù)、映射、變化：其實(shí)是一個(gè)意思。在一般函數(shù)里，一個(gè)數(shù)是一個(gè)元，在線性映射里，一個(gè)向量是一個(gè)元。
滿射：每個(gè)ｙ至少是一個(gè)ｘ的象（對(duì)應(yīng)單位），稱為滿射。
單射：１對(duì)１映射。
線性差分方程：序列的每一項(xiàng)目是定義為前一項(xiàng)的函數(shù)。一種遞歸關(guān)系（遞推）。
矩陣乘法：乘以數(shù)＝各個(gè)相乘。矩陣乘矩陣必須前行＝后列。
矩陣的逆：兩個(gè)矩陣相乘＝單位矩陣，則互為逆矩陣。
矩陣分解：將矩陣拆散為數(shù)個(gè)矩陣的乘積。
行列式：簡(jiǎn)單的說(shuō)，行列式是一個(gè)運(yùn)算矩陣的函數(shù)，在 ｎ 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變化對(duì)“體積”所造成的影響，它能帶來(lái)伸縮變化。矩陣中各種元素的交叉相乘再加減正好能表達(dá)這種變化，它就是行列式。
克拉默法則：一套算法，能算出Ａｘ＝ｂ的唯一解。矩陣乘以某個(gè)參數(shù)＝向量的唯一解。
向量空間：向量構(gòu)成的空間。子空間是其中一個(gè)子集。
零空間：映射之后象為０的原象構(gòu)成的空間。
列空間：矩陣的列的所有線性組合構(gòu)成的空間。
線性變換核：齊次線性方程組的解集。
基向量：向量空間中任意一個(gè)元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。
維數(shù)：
秩：去掉無(wú)用的線性方程后的方程組數(shù)。
穩(wěn)態(tài)向量：
特征向量：變換后方向不變。
特征空間：特征向量構(gòu)成的空間。
特征值：設(shè) Ａ 是ｎ階方陣，如果存在數(shù)ｍ和非零ｎ維列向量ｘ，使得 Ａｘ＝ｍｘ 成立，則稱 ｍ 是Ａ的一個(gè)特征值。乘以列向量＝矩陣乘以列向量。
復(fù)向量：向量中包含了復(fù)數(shù)。
鞍點(diǎn)：一個(gè)數(shù)在所在行中是最大值，在所在列中是最小值。
函數(shù)矩陣：矩陣?yán)锏拿總�(gè)元素都是一個(gè)關(guān)于ｘ的函數(shù)。
矩陣微分方程：將級(jí)數(shù)式表達(dá)的微分方程寫(xiě)成ｙ＝Ａｘ的形式，Ａ是所有ａ（ｔ）類函數(shù)構(gòu)成的矩陣
冪算法：
內(nèi)積：
正交性：“正交性”是從幾何中借來(lái)的術(shù)語(yǔ)。如果兩條直線相交成直角，他們就是正交的。
范數(shù)：長(zhǎng)度。
正交集：
單位正交集：
正交投影：
格拉姆～施密特方法：把線性無(wú)關(guān)向量系進(jìn)行正交化的過(guò)程，稱為格拉姆－施密特正交化過(guò)程。
正交基：基向量?jī)蓛烧弧?/p>
ＱＲ分解：
內(nèi)積空間：
對(duì)稱矩陣：
譜定理：譜定理給出了算子或者矩陣可以對(duì)角化的條件（也就是可以在某個(gè)基底中用對(duì)角矩陣來(lái)表示）
二次型：ｎ個(gè)變量的二次多項(xiàng)式稱為二次型，即在一個(gè)多項(xiàng)式中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)為任意多個(gè)，但每一項(xiàng)的次數(shù)都為２的多項(xiàng)式。
奇異值：Ａ＊Ａ的ｑ個(gè)非負(fù)特征值的算術(shù)平方根叫作Ａ的奇異值。矩陣Ａ的秩等于它的非零奇異值的個(gè)數(shù)。
協(xié)方差矩陣：實(shí)際值１減去期望值１乘以實(shí)際值２減去期望值２，就是協(xié)方差。協(xié)方差矩陣就是兩個(gè)集合之間的元素協(xié)方差構(gòu)成的矩陣。
仿射變換：一個(gè)向量空間進(jìn)行一次線性變換并接上一個(gè)平移，變換為另一個(gè)向量空間。
仿射集：仿射集Ｍ 指的是具有ｘ＋Ｓ 形式的集合，其中ｘ 是某個(gè)向量，而Ｓ 是由Ｍ 唯一確定的一個(gè)子空間，并稱為平行于Ｍ的子空間。
仿射包：最小仿射集。
超平面：ｎ－１維度的線性子空間。
凸集：凸集是對(duì)于集合內(nèi)的每一對(duì)點(diǎn)，連接該對(duì)點(diǎn)的直線段上的每個(gè)點(diǎn)也在該集合內(nèi)。例如，立方體是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。
凸包：凸包就是將最外層的點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)成的凸多邊形，它能包含點(diǎn)集中所有的點(diǎn)。
貝塞爾曲線：依據(jù)四個(gè)位置任意的點(diǎn)坐標(biāo)繪制出的一條光滑曲線。
