1.  線性代數(shù)知識圖譜

線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系問題。線性關(guān)系意即數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系是以一次形式來表達(dá)的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個(gè)平面相交，由兩個(gè)三元一次方程所組成的方程組來表示。含有 n個(gè)未知量的一次方程稱為線性方程。變于關(guān)量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。線性關(guān)系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。

線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù)

非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關(guān)系，一階導(dǎo)數(shù)不為常數(shù)。

行列式非零矩陣可逆方陣滿秩向量組滿秩（向量個(gè)數(shù)等于維數(shù)）。

2. 行列式

2.1 定義

      矩陣的行列式，determinate（簡稱det），是基于矩陣所包含的行列數(shù)據(jù)計(jì)算得到的一個(gè)標(biāo)量。是為求解線性方程組而引入的。

2.2 二階行列式

      計(jì)算方式：對角線法則

2.3 三階行列式

      計(jì)算方式：對角線法則

2.4 n階行列式

2.4.1 計(jì)算排列的逆序數(shù)

2.4.2 計(jì)算n階行列式

2.4.3 簡化計(jì)算總結(jié)

2.4.4 行列式的3種表示方法

2.5 行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1  行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等

       注：行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.

性質(zhì)2  互換行列式的兩行（列）,行列式變號

推論    如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零

性質(zhì)3  行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式.

推論    行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．

性質(zhì)4  行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．

性質(zhì)5  若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,則等于對應(yīng)的兩個(gè)行列式之和.

性質(zhì)6  把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．

2.6 計(jì)算行列式的方法

     1）利用定義

     2）利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值

    定理中包含著三個(gè)結(jié)論：

       1）方程組有解；（解的存在性） 

       2）解是唯一的；（解的唯一性）

       3）解可以由公式(2)給出.

定理4   如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的 .

定理4′ 如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.

齊次線性方程組的相關(guān)定理

定理5   如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D不等于0，則齊次線性方程組只有零解，沒有非零解.

定理5′ 如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.   

1. 用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件

    1) 方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)；

    2) 系數(shù)行列式不等于零.

2. 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系．它主要適用于理論推導(dǎo)．

2.8 行列式按行(列)展開

      對角線法則只適用于二階與三階行列式.

      本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.

3. 矩陣

3.1 矩陣的定義

3.1.1 矩陣與行列式的區(qū)別

3.2 特殊矩陣

3.3 矩陣與線性變換

3.4 矩陣的運(yùn)算

3.4.1 矩陣的加法

行列式與矩陣加法的比較：

3.4.2 數(shù)乘矩陣

3.4.3 矩陣與矩陣相乘

3.4.4 矩陣的轉(zhuǎn)置

反對稱矩陣(skew symmetric matrix)

3.4.5 方陣的行列式

3.4.6 伴隨矩陣

3.4.7 共軛矩陣

3.5 可逆矩陣(或稱非奇異矩陣)

3.6 矩陣分塊法

分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置，而且每一個(gè)子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置．

4. 矩陣的初等變換與線性方程組

4.1 矩陣的初等變換

4.2 矩陣之間的等價(jià)關(guān)系

4.3 初等變換與矩陣乘法的關(guān)系

4.4 矩陣的秩

4.5 線性方程組的多解

5. 向量組的線性相關(guān)性

5.1 向量組及其線性組合

5.2 向量組的線性相關(guān)性

5.3 向量組的秩

結(jié)論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的．

5.4 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

問題：什么是線性方程組的解的結(jié)構(gòu)？

答：所謂線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，就是當(dāng)線性方程組有無限多個(gè)解時(shí)，解與解之間的相互關(guān)系．

備注：

   1）當(dāng)方程組存在唯一解時(shí)，無須討論解的結(jié)構(gòu)．

   2）下面的討論都是假設(shè)線性方程組有解．

5.5 向量空間

5.5.1 封閉的概念

         定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個(gè)元素作某一運(yùn)算得到的結(jié)果仍屬于該集合．

5.5.2 向量空間的概念

         定義：設(shè) V 是 n 維向量的集合，如果

         ① 集合 V 非空，

         ② 集合 V 對于向量的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，

             具體地說，就是：

             若 a ∈ V， b ∈ V，則a + b ∈ V ．（對加法封閉）

             若 a ∈ V， l ∈ R，則 l a ∈ V ．（對乘數(shù)封閉）

             那么就稱集合 V 為向量空間．

5.5.3 子空間的概念

         定義：如果向量空間 V 的非空子集合 V1 對于 V 中所定義的加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算是封閉的，則稱 V1 是 V 的子空間．

5.5.4 向量空間的基的概念

6. 相似矩陣及二次型

6.1  向量的內(nèi)積、長度及正交性

6.1.1 向量的內(nèi)積

6.1.2 向量的長度或范數(shù)

單位向量：長度為1的向量。

6.1.3 向量的正交性

向量正交：向量內(nèi)積為0。

6.1.4 正交矩陣或正交陣

6.1.5 正交矩陣的性質(zhì)