本課程學(xué)習(xí)的是經(jīng)典微分幾何的有關(guān)內(nèi)容，主要通過微積分和線性代數(shù)的方法研究空間

曲線和曲面的形狀，找出決定曲線和曲面形狀的不變量系統(tǒng)。在教學(xué)過程中要貫徹微分幾何

的思想和方法，使學(xué)生了解幾何概念與方法，培養(yǎng)幾何直觀和圖形想象能力，掌握幾何量及

其之間關(guān)系的具體計(jì)算和論證能力。本課程以經(jīng)典微分幾何為主，在教學(xué)上要求學(xué)生牢固掌

握經(jīng)典微分幾何的內(nèi)容。對(duì)部分整體微分幾何的內(nèi)容，如平面曲線的一些整體性質(zhì)，完備曲

面的Hopf-Rinow 定理，極小曲面的Bernstein定理等，作了解性掌握的要求。 

本課程的成績考核方式為開卷考查。考試成績由平時(shí)成績和期終考試成績組成，其中，

平時(shí)成績包括期中考試成績、出勤、作業(yè)成績、課堂提問、問題探討（討論）等。 

三、教學(xué)內(nèi)容 

1．教學(xué)基本要求 

第一章    曲線論 

本章主要研究內(nèi)容為向量分析、曲線的切線、法平面、曲線的弧長參數(shù)表示、空間曲線

的基本三棱形、曲率和撓率的概念和計(jì)算、曲線論的基本公式和基本定理，從而對(duì)空間曲線

在一點(diǎn)鄰近的形狀進(jìn)行研究，同時(shí)對(duì)特殊曲線特別是一般螺線和貝特朗曲線進(jìn)行研究。通過

本章的教學(xué)，使學(xué)生理解和熟記有關(guān)概念，掌握理論體系和思想方法，能夠證明和計(jì)算有關(guān)

問題。 

2．要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、技能 

理解向量函數(shù)的極限、連續(xù)性、微商、泰勒（TayLor）公式和積分等概念，能推導(dǎo)和熟

記有關(guān)公式，并能使用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算。了解這些內(nèi)容與平行的數(shù)學(xué)分析內(nèi)容之間的區(qū)

別和聯(lián)系。理解和熟記簡(jiǎn)單曲線、光滑曲線、曲線的切線和法面、曲線的弧長和曲線的自然

參數(shù)等基本概念，能理解和熟記有關(guān)公式，并能使用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算。理解和熟記空間

曲線的密切平面、基本三棱形、曲線的曲率、撓率和伏雷內(nèi)(Frenet)公式等重要概念和理論。

理解空間曲線論的基本定理。重點(diǎn)是掌握曲線的曲率、撓率和伏雷內(nèi)(Frenet)公式等內(nèi)容，

能夠論證和計(jì)算有關(guān)問題。 

3．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 

教學(xué)重點(diǎn)是空間曲線在一點(diǎn)的基本向量、基本三棱形、伏雷內(nèi)公式；曲率、撓率的定義

和計(jì)算；一般螺線的定義和性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)是空間曲線論的基本定理的掌握。 

4．教學(xué)內(nèi)容 

1．向量代數(shù)復(fù)習(xí) 

第一節(jié)  向量函數(shù) 

2．向量函數(shù)的極限、連續(xù)性、微商泰勒 

第二節(jié)  曲線的概念 

1．曲線的概念 

2．光滑曲線、曲線的正常點(diǎn) 

3．曲線的切線和法面 

4．曲線的弧長、自然參數(shù) 

1．空間曲線的密切平面 

2．空間曲線的基本三棱形 

第三節(jié)  空間曲線 

3．空間曲線的曲率、撓率和伏雷內(nèi)公式 

4．空間曲線在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu) 

5．空間曲線論的基本定理 

6．一般螺線  

1．教學(xué)基本要求 

第二章    曲面論 

本章主要研究曲面概念、曲線坐標(biāo)網(wǎng)，曲面的切平面和法線；引入曲面的第一、第二基

本形式，由第一基本形式計(jì)算曲面上曲線的弧長，曲面域的面積和曲面間的等距及保角變換；

由第二基本形式討論曲面上曲線的曲率、曲面的法曲率，曲面上的方向；曲面上的各種曲線

和各種曲率之間的關(guān)系。介紹本章唯一的整體理論——高斯-波涅公式。 

通過本章的教學(xué)，使學(xué)生理解和熟記有關(guān)概念，掌握理論體系和思想方法，能夠證明和

計(jì)算有關(guān)問題。 

2．要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、技能 

理解和熟記簡(jiǎn)單曲面、光滑曲面、曲面上的曲線網(wǎng)、曲面的切平面和法線等基本概念，

理解和熟記有關(guān)公式，并能使用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算。 

理解和掌握曲面的第一基本形式，計(jì)算曲面上曲線的弧長、曲面域的面積和曲面間的等

距及保角變換等有關(guān)問題。 

理解和掌握曲面的第二基本形式，由第二基本形式討論曲面上曲線的曲率、曲面的法曲

率、曲面上的方向、曲面上的各種曲線和各種曲率之間的關(guān)系。 

理解和掌握直紋面、特別是可展曲面的概念、理論、方法和應(yīng)用背景。 

初步認(rèn)知張量符號(hào), 理解曲面論的基本定理。 

理解和掌握曲面上曲線的測(cè)地曲率、測(cè)地線及其短程性。了解本章唯一的整體理論——

高斯波涅（Gauss-Bonnet）公式。 

了解常高斯曲率曲面、偽球面及羅氏幾何的概念和有關(guān)內(nèi)容。 

3．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 

教學(xué)重點(diǎn)是空間曲面的第一、第二基本形式；法曲率、主曲率、高斯曲率、平均曲率、

測(cè)地曲率的定義和性質(zhì)；曲面的漸近方向、共軛方向、主方向；漸近線、曲率線、測(cè)地線的

定義和求法；空間曲線、曲面的基本定理；可展曲面及其特征；歐拉公式、羅德里格定理、

高斯定理、高斯—波涅公式及其應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)是曲面上各種曲率間的內(nèi)部關(guān)系，曲面論的

基本定理的理解及符號(hào)意義等。 

4．教學(xué)內(nèi)容 

1．簡(jiǎn)單曲面及其參數(shù)表示 

第一節(jié)  曲面的概念 

2．光滑曲面、曲面的切平面及法線 

3．曲面上的曲線族和曲線網(wǎng) 

第二節(jié)  曲面的第一基本形式 

1．曲面的第一基本形式、曲面上曲線的弧長 

2．曲面上兩方向的夾角 

3．正交曲線族和正交軌線 

4．曲面域的面積 

5．等距變換 

6．保角變換 

第三節(jié)  曲面的第二基本形式 

1．曲面的第二基本形式 

2．曲面上曲線的曲率 

3．迪潘指標(biāo)線 

4．曲面的漸進(jìn)方向和共軛方向 

5．曲面的主方向和曲率線 

6．曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 

7．曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu) 

8．高斯曲率幾何意義 

1．直紋面 

2．可展曲面 

3．線匯 

第四節(jié)  直紋面與可展區(qū)面 

第五節(jié)  曲面論基本定理 

1．曲面的基本方程和克里斯托費(fèi)爾符號(hào) 

2．曲面的黎曼曲率張量和高斯-科達(dá)奇-邁因納爾迪公式 

3．曲面論基本定理 

1．曲面上曲線的測(cè)地曲率 

2．測(cè)地線 

3．曲面上半側(cè)地坐標(biāo)網(wǎng) 

4．測(cè)地線的短程性 

5．高斯-波涅公式 

6．曲面上向量的平行移動(dòng) 

1．常高斯曲率的曲面 

2．偽球面 

3．羅氏幾何