高等代數(shù)的基本內(nèi)容就是以矩陣為工具, 研究向量空間。主要分為兩部分：一是基本的工具，如矩陣、行列式、線性方程組、多項(xiàng)式、二次型等。另一部分是研究線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)。從元素的視角看，研究向量間的線性表示，線性相關(guān)性，基向量；從子集角度看，研究子空間及直和分解；從空間之間的關(guān)系來(lái)研究空間結(jié)構(gòu)，即線性映射，線性變換，線性映射的核與值域，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的空間分解。而歐氏空間則是具體的研究空間的例子。
在基本工具部分中，矩陣是重點(diǎn)，它貫穿于整個(gè)高等代數(shù)的始終，可以說，高等代數(shù)實(shí)際上就是矩陣代數(shù)。高等代數(shù)的另一部分中線性空間及線性變換是重點(diǎn)。從某種意義上講，線性空間是3維宇宙空間抽象化的推廣。所以，高等代數(shù)最大的難點(diǎn)就是高度抽象。高等代數(shù)是學(xué)生從具體的數(shù)學(xué)到抽象公理化的數(shù)學(xué)的一個(gè)重要過渡，一個(gè)必須通過的難關(guān)。既讓學(xué)生學(xué)起來(lái)感覺容易又在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)了抽象思維和創(chuàng)新能力是我們改革和建設(shè)這一課程所要努力解決的核心問題。為此，我們從以下幾方面著手解決：
1. 合理安排教學(xué)內(nèi)容的先后順序。大多數(shù)教材先講多項(xiàng)式、行列式、線性方程組，然后再講矩陣。這樣的安排違背了先易后難、循序漸進(jìn)的原則，學(xué)生感到多項(xiàng)式理論特難掌握，行列式理論特抽象，線性方程組很復(fù)雜。其實(shí)，如果先講矩陣代數(shù)，用矩陣的方法去處理行列式和多項(xiàng)式的一些理論會(huì)省時(shí)省力，且學(xué)生非常容易掌握矩陣?yán)碚摗?/div>
2. 經(jīng)典內(nèi)容現(xiàn)代化。我們利用最新的研究成果將經(jīng)典的內(nèi)容進(jìn)行最為簡(jiǎn)潔的改造處理。如傳統(tǒng)教材中線性方程組理論這一章近50頁(yè)的內(nèi)容利用我們的最新研究成果只須將其看成線性空間的一節(jié)僅用6頁(yè)的篇幅就可完成，而且通俗易懂，學(xué)生便于掌握。
3. 用矩陣?yán)碚撎幚矶囗?xiàng)式代數(shù)。目前幾乎所有的教材都是利用了純多項(xiàng)式理論自身的方法處理問題，沒有使用矩陣去處理，造成學(xué)生認(rèn)為矩陣在多項(xiàng)式理論中無(wú)用武之地。我們利用矩陣給出多項(xiàng)式的運(yùn)算，利用多項(xiàng)式矩陣的初等變換給出了求多項(xiàng)式最大公因式和最小公倍式的簡(jiǎn)便方法等，學(xué)生非常容易接受，更體會(huì)到矩陣工具的強(qiáng)大威力。
4. 注重理論與其背景的聯(lián)系、我們將原本抽象的數(shù)學(xué)概念，從實(shí)際應(yīng)用中引入，并增加應(yīng)用實(shí)例。
第一章 基本概念1．1 集合1．2 映射1．3 數(shù)學(xué)歸納法1．4 整數(shù)的一些整除性質(zhì)1．5 數(shù)環(huán)和數(shù)域第二章 多項(xiàng)式2．1 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算2．2 多項(xiàng)式的整除性2．3 多項(xiàng)式的最大公因式2．4 多項(xiàng)式的分解2．5 重因式2．6 多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式的根2．7 復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式2．8 有理數(shù)域上多項(xiàng)式2．9 多元多項(xiàng)式2．10 對(duì)稱多項(xiàng)式第三章 行列式3．1 線性方程組和行列式3．2 排列3．3 n階行列式3．4 子式和代數(shù)余子式行列式的依行依列展開3．5 克拉默規(guī)則第四章 線性方程組4．1 消元法4．2 矩陣的秩線性方程組可解的判別法4．3 線性方程組的公式解4．4 結(jié)式和判別式第五章 矩陣5．1 矩陣的運(yùn)算5．2 可逆矩陣矩陣乘積的行列式5．3 矩陣的分塊第六章 向量空間6．1 定義和例子6．2 子空間6．3 向量的線性相關(guān)性6．4 基和維數(shù)6．5 坐標(biāo)6．6 向量空間的同構(gòu)6．7 矩陣的秩齊次線性方程組的解空間第七章 線性變換7．1 線性映射7．2 線性變換的運(yùn)算7．3 線性變換和矩陣7．4 不變子空間7．5 本征值和本征向量7．6 可以對(duì)角化的矩陣第八章 歐氏空間和酉空間8．1 向量的內(nèi)積8．2 正交基8．3 正交變換8．4 對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣8．5 酉空間8．6 酉變換和對(duì)稱變換第九章 二次型9．1 二次型和對(duì)稱矩陣9．2 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型9．3 正定二次型9．4 主軸問題9．5 雙線性函數(shù)第十章 群，環(huán)和域簡(jiǎn)介10．1 群10．2 剩余類加群10．3 環(huán)和域附錄 向量空間的分解和矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式§1 向量空間的準(zhǔn)素分解凱萊-哈密頓定理§2 線性變換的若爾當(dāng)分解§3 冪零矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式§4 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式索引
