中文簡介：實變函數起源于對連續(xù)而不可微函數以及Riemann可積函數等的透徹研究，在點集論的基礎上討論分析數學中一些最基本的概念和性質，其主要內容是引入Lebesgue積分并克服了Riemann積分的不足。它是數學分析的繼續(xù)、深化和推廣，是一門培養(yǎng)學生數學素質的重要課程，也是現(xiàn)代數學的基礎。泛函分析起源于經典的數學物理邊值問題和變分問題，同時概括了經典分析的許多重要概念，是現(xiàn)代數學中一個重要的分支，它綜合運用了分析、代數與幾何的觀點和方法研究、分析數學和工程問題，其理論與方法具有高度概括性和廣泛應用性的特點。

課程目錄：

實變函數學什么

集合的表示與運算

用集合描述性質的例子

集合列的上下極限（前一部分是回憶數列的上下極限，集合列在10分38秒）

對等與基數

可數集合

不可數集合（后面講了幾分鐘廢話，分享了一下作為弱雞的日常）

度量空間和歐式空間

聚點內點界點

開集與閉集

緊集與完備集修改版

直線上開集閉集完備集的構造（前面在講構造的想法，嚴謹過程從18分16秒開始）

Cantor三分集（后面講分形完全是照本宣科）

測度論這章要做什么+外測度的定義

外測度的基本性質

可測集的定義

可測集的運算1（余集有限并交差）改！

可測集的運算2（可數并交極限）

sigma代數（中間不負責任地講了無用的豆知識）

可測集類1（區(qū)間零測集可測）（27分16秒到35分23秒講了一些直觀看法和廢話可以跳過）

可測集類2（外正規(guī)性內正規(guī)性、所有可測集）

等價關系與等價類

不可測集

連續(xù)函數、Cantor函數和非Borel可測集(講得很不仔細，就注意連續(xù)函數定義，大概了解Cantor函數和知道有非Borel可測集。講得壞的地方請忽略和包含)

這是一個引入可測函數的故事，不看不影響本課學習，看了也許對學習抽象測度論有點好處

可測函數的定義（中規(guī)中矩必須要看版）

可測函數的定義（故事很長可以不看版）

可測函數的運算（四則運算和絕對值）

可測函數的運算（上下確界、上下極限、正部負部）

第一章習題課

可測函數的例子

用簡單函數逼近可測函數

可測函數列的收斂之一——葉果洛夫定理

可測函數列的收斂之二——依測度收斂

可測函數列的收斂之三——幾乎處處收斂與依測度收斂的關系

可測函數與連續(xù)函數

第二章習題課

我們講勒貝格積分講什么

非負簡單函數的勒貝格積分

非負可測函數的勒貝格積分之一——定義

非負可測函數的勒貝格積分之二——極限與積分

非負可測函數的勒貝格積分之三——零測集與積分

第三章習題課

可測函數的勒貝格積分之一——定義與基本性質

可測函數的勒貝格積分之二——線性

第四章習題課

控制收斂定理

黎曼積分與勒貝格積分的關系

勒貝格積分的幾何意義