中文簡(jiǎn)介：實(shí)變函數(shù)起源于對(duì)連續(xù)而不可微函數(shù)以及Riemann可積函數(shù)等的透徹研究，在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上討論分析數(shù)學(xué)中一些最基本的概念和性質(zhì)，其主要內(nèi)容是引入Lebesgue積分并克服了Riemann積分的不足。它是數(shù)學(xué)分析的繼續(xù)、深化和推廣，是一門培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要課程，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。泛函分析起源于經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理邊值問題和變分問題，同時(shí)概括了經(jīng)典分析的許多重要概念，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分支，它綜合運(yùn)用了分析、代數(shù)與幾何的觀點(diǎn)和方法研究、分析數(shù)學(xué)和工程問題，其理論與方法具有高度概括性和廣泛應(yīng)用性的特點(diǎn)。

課程目錄：

實(shí)變函數(shù)學(xué)什么

集合的表示與運(yùn)算

用集合描述性質(zhì)的例子

集合列的上下極限（前一部分是回憶數(shù)列的上下極限，集合列在10分38秒）

對(duì)等與基數(shù)

可數(shù)集合

不可數(shù)集合（后面講了幾分鐘廢話，分享了一下作為弱雞的日常）

度量空間和歐式空間

聚點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)界點(diǎn)

開集與閉集

緊集與完備集修改版

直線上開集閉集完備集的構(gòu)造（前面在講構(gòu)造的想法，嚴(yán)謹(jǐn)過程從18分16秒開始）

Cantor三分集（后面講分形完全是照本宣科）

測(cè)度論這章要做什么+外測(cè)度的定義

外測(cè)度的基本性質(zhì)

可測(cè)集的定義

可測(cè)集的運(yùn)算1（余集有限并交差）改！

可測(cè)集的運(yùn)算2（可數(shù)并交極限）

sigma代數(shù)（中間不負(fù)責(zé)任地講了無(wú)用的豆知識(shí)）

可測(cè)集類1（區(qū)間零測(cè)集可測(cè)）（27分16秒到35分23秒講了一些直觀看法和廢話可以跳過）

可測(cè)集類2（外正規(guī)性內(nèi)正規(guī)性、所有可測(cè)集）

等價(jià)關(guān)系與等價(jià)類

不可測(cè)集

連續(xù)函數(shù)、Cantor函數(shù)和非Borel可測(cè)集(講得很不仔細(xì)，就注意連續(xù)函數(shù)定義，大概了解Cantor函數(shù)和知道有非Borel可測(cè)集。講得壞的地方請(qǐng)忽略和包含)

這是一個(gè)引入可測(cè)函數(shù)的故事，不看不影響本課學(xué)習(xí)，看了也許對(duì)學(xué)習(xí)抽象測(cè)度論有點(diǎn)好處

可測(cè)函數(shù)的定義（中規(guī)中矩必須要看版）

可測(cè)函數(shù)的定義（故事很長(zhǎng)可以不看版）

可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算（四則運(yùn)算和絕對(duì)值）

可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算（上下確界、上下極限、正部負(fù)部）

第一章習(xí)題課

可測(cè)函數(shù)的例子

用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近可測(cè)函數(shù)

可測(cè)函數(shù)列的收斂之一——葉果洛夫定理

可測(cè)函數(shù)列的收斂之二——依測(cè)度收斂

可測(cè)函數(shù)列的收斂之三——幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂的關(guān)系

可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)

第二章習(xí)題課

我們講勒貝格積分講什么

非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分

非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分之一——定義

非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分之二——極限與積分

非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分之三——零測(cè)集與積分

第三章習(xí)題課

可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分之一——定義與基本性質(zhì)

可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分之二——線性

第四章習(xí)題課

控制收斂定理

黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系

勒貝格積分的幾何意義