《數(shù)學(xué)分析》是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)、計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)、運(yùn)籌學(xué)與控制論專(zhuān)業(yè)、系統(tǒng)理論專(zhuān)業(yè)碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試的科目之一。

《數(shù)學(xué)分析》考試要求能反映數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，科學(xué)、公平、準(zhǔn)確地測(cè)試考生的基本素質(zhì)和綜合能力，很好地選拔具有科研發(fā)展?jié)摿Φ膬?yōu)秀人才進(jìn)入碩士階段學(xué)習(xí)，為國(guó)家培養(yǎng)掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)方面的基礎(chǔ)理論知識(shí)，具有較強(qiáng)分析與解決實(shí)際問(wèn)題能力的高層次的應(yīng)用型的和復(fù)合型的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)人才。

考查的知識(shí)及范圍

1、變量與函數(shù)

函數(shù)的概念；復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)；基本初等函數(shù)

2、極限與連續(xù)

數(shù)列的極限和無(wú)窮大量；函數(shù)的極限；連續(xù)函數(shù)

3、極限續(xù)論

關(guān)于實(shí)數(shù)的基本定理；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

4、導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)的引進(jìn)與定義；簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；求導(dǎo)法則；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；微分及其運(yùn)算；隱函數(shù)及參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導(dǎo)法；不可導(dǎo)的函數(shù)舉例；高階導(dǎo)數(shù)與高階微分

5、微分學(xué)的基本定理及其應(yīng)用

微分中值定理；泰勒公式；函數(shù)的升降、凸性與極值；平面曲線的曲率；待定型；方程的近似解

6、不定積分

不定積分的概念及運(yùn)算法則；不定積分的計(jì)算

7、定積分

定積分概念；定積分存在條件；定積分的性質(zhì)；定積分計(jì)算

8、定積分的應(yīng)用和近似計(jì)算

平面圖形面積；曲線的弧長(zhǎng)；體積；旋轉(zhuǎn)曲面的面積；質(zhì)心；平均值、功

9、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

上極限與下極限；級(jí)數(shù)的收斂性及基本性質(zhì)；正項(xiàng)級(jí)數(shù)；任意項(xiàng)級(jí)數(shù)；絕對(duì)收斂級(jí)和條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)；無(wú)窮乘積

10、反常積分

無(wú)窮限的反常積分；無(wú)界函數(shù)的反常積分

11、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性；冪級(jí)數(shù)；逼近定理

12、Fourier級(jí)數(shù)和Fourier變換

Fourier級(jí)數(shù)；Fourier變換

13、多元函數(shù)的極限與連續(xù)

平面點(diǎn)集；多元函數(shù)的極限和連續(xù)性

14、偏導(dǎo)數(shù)和全微分

偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算；求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t；由方程（組）所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法；空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線；方向?qū)��?shù)和梯度；泰勒公式

15、極值和條件極值

 極值和最小二乘法；條件極值

16、隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)

隱函數(shù)存在定理；函數(shù)行列式的性質(zhì)、函數(shù)相關(guān)

17、含參變量積分

含參變量的積分的定義；含參變量的積分的分析性質(zhì)：連續(xù)性定理、積分次序交換定理與積分號(hào)下求導(dǎo)定理；含參變量的積分的計(jì)算。

18、含參變量的反常積分

參變量的反常積分的一致收斂的定義及判別法：Cauchy收斂原理、Weierstrass判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法；一致收斂積分的分析性質(zhì)：連續(xù)性定理、積分次序交換定理與積分號(hào)下求導(dǎo)定理；Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)。

19、積分的定義和性質(zhì)

二重、三重積分、第一類(lèi)曲線、第一類(lèi)曲面積分的概念；積分的性質(zhì)

20、重積分的計(jì)算及應(yīng)用

二重積分的計(jì)算；三重積分的計(jì)算；積分在物理上的應(yīng)用；反常重積分

21、曲線積分和曲面積分的計(jì)算

第一類(lèi)曲線積分的計(jì)算；第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算；第二類(lèi)曲線積分；第二類(lèi)曲面積分

22、各種積分間的聯(lián)系和場(chǎng)論初步

各種積分間的聯(lián)系；格林(Green)公式；高斯(Gauss)公式；斯托克司(Stokes)公式；曲線積分和路徑的無(wú)關(guān)性；場(chǎng)論初步

第二部分  考察的知識(shí)及范圍

一、極限論

（1）掌握數(shù)列極限，函數(shù)極限定義，會(huì)用數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義證明有關(guān)極限問(wèn)題；掌握函數(shù)有界、無(wú)界的定義，并會(huì)用其證明給定函數(shù)在給定區(qū)間上的有界性、無(wú)界性；掌握實(shí)數(shù)集上、下確界的定義。

（2）掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)及運(yùn)算，掌握單調(diào)有界數(shù)列收斂定理、迫斂性法則、柯西收斂原理、歸結(jié)原則及應(yīng)用；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)及運(yùn)算，會(huì)用兩個(gè)重要極限來(lái)處理極限問(wèn)題。

（3）掌握無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的定義、性質(zhì)和關(guān)系；掌握無(wú)窮小量階的比較。

（4）理解和掌握連續(xù)函數(shù)的定義和運(yùn)算，解決有關(guān)函數(shù)連續(xù)性問(wèn)題；掌握不連續(xù)點(diǎn)的類(lèi)型；掌握單側(cè)極限的概念。

（5）掌握和應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性）；掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性。

（6）掌握實(shí)數(shù)連續(xù)性定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、確界存在定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理。

（7）理解平面點(diǎn)集的基本概念，了解矩形套定理，致密性定理、有限覆蓋定理；掌握二元函數(shù)的極限，二次極限，連續(xù)性概念及計(jì)算；掌握有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

二、單變量微積分學(xué)

（1）理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念和幾何意義；能熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(特別是復(fù)合函數(shù))。

（2）理解可導(dǎo)性、連續(xù)性與可微性的關(guān)系；掌握導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；掌握高階導(dǎo)數(shù)的求法。

（3）掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；能熟練地運(yùn)用羅必達(dá)法則求不定式的極限；掌握泰勒公式并能應(yīng)用其解決近似計(jì)算、求極限等相關(guān)問(wèn)題。

（4）掌握函數(shù)圖形特征(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線)的判定及描繪函數(shù)圖形。

（5）掌握原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有理式積分法，并能利用它們來(lái)求函數(shù)的積分；會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)的積分。

（6）理解定積分概念，掌握函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類(lèi)；掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能較好地運(yùn)用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計(jì)算定積分。

（7）掌握定積分的幾何應(yīng)用；掌握定積分在物理上的應(yīng)用；掌握"微元法"。

（8）掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂與條件收斂等概念；.能用收斂性判別法判斷某些反常積分的收斂性。

（9）掌握含參變量定積分的性質(zhì)及計(jì)算。

三、 多變量微積分學(xué)

（1）掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)��?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階全微分等概念；了解多元函數(shù)可微、可導(dǎo)及連續(xù)的關(guān)系；掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、由方程（組）所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則。

（2）掌握隱函數(shù)的存在性定理；會(huì)求曲線的切線方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；會(huì)求多元函數(shù)的極值（條件極值和無(wú)條件極值）。

（3）掌握二重、三重積分的概念和性質(zhì)；會(huì)計(jì)算重積分；會(huì)求圖形的面積，體積。

（4）掌握兩類(lèi)曲線積分的概念及計(jì)算；掌握兩類(lèi)曲線積分的性質(zhì)；掌握兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系；掌握Green公式并會(huì)用其計(jì)算有關(guān)積分 。

（5）掌握兩類(lèi)曲面積分的概念及計(jì)算；掌握兩類(lèi)曲面積分的性質(zhì)；掌握兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系；掌握Gauss公式、Stokes公式并會(huì)用其計(jì)算有關(guān)積分 。

四、級(jí)數(shù)論

（1）理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂，發(fā)散，絕對(duì)收斂與條件收斂等概念；掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；熟練應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法（比較判別法、比式判別法、根式判別法和積分判別法）與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法判斷級(jí)數(shù)的斂散性；能熟練應(yīng)用幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的斂散性。

（2）掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（函數(shù)序列）收斂及一致收斂性概念；掌握一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，能夠比較熟練地運(yùn)用判斷一致收斂性的判別法（Cauchy收斂準(zhǔn)則， Weierstrass判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法）判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（函數(shù)序列）的一致收斂性。

（3）掌握冪級(jí)數(shù)，收斂半徑、收斂域、和函數(shù)等概念；會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域；掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)并能求和函數(shù)；會(huì)把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。

  （4）掌握三角函數(shù)系的正交性與周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)；掌握Fourier級(jí)數(shù)收斂性判別法；能將函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)。