中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代（公元前7世紀(jì)），我國(guó)的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，即老莊哲學(xué)中所有的無(wú)限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無(wú)窮、無(wú)限小（最小無(wú)內(nèi)）、無(wú)窮大（最大無(wú)外）的定義和極限、瞬時(shí)等概念。這是樸素的、也是很典型的極限概念。而極限理論便是微分學(xué)的基礎(chǔ)。
古希臘時(shí)期（公元前3世紀(jì)），阿基米德用內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來(lái)窮盡圓周長(zhǎng)，而求得圓周率愈來(lái)愈好的近似值，也用一連串的三角形來(lái)填充拋物線的圖形，以求得其面積。這是窮盡法的古典例子之一，可以說(shuō)是積分思想的起源。
17世紀(jì)，許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。
17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。
19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來(lái)。
1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個(gè)沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認(rèn)識(shí)到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。外爾斯特拉斯最終完成了對(duì)實(shí)數(shù)系更深刻的性質(zhì)的理解，使得數(shù)學(xué)分析完全由實(shí)數(shù)系導(dǎo)出，脫離了知覺理解和幾何直觀。
微積分( Calculus )是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。 它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限極限、微分學(xué)、 積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括 求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算， 是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、 速度、加速度和曲線的斜率等均可 用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供 一套通用的方法。
微積分的基本介紹
微積分學(xué)基本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運(yùn)算 ［把上下限代入不定積分即
得到積分值，而微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積 ］，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)
的原因。 我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來(lái)討論微積分學(xué)， 但是在教學(xué)中， 微分學(xué)一般會(huì) 先被引入。
微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。 它是一種數(shù)學(xué)思想， ‘無(wú)限細(xì)分'就是微分， ‘無(wú)限 求和'就是積分。 十七世紀(jì)后半葉， 牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過(guò)準(zhǔn)備的工作， 分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。 他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量， 但是理論基礎(chǔ)是 不牢固的。因?yàn)椤盁o(wú)限”的概念是無(wú)法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算，所以，直到十九世 紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論， 康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論， 這門學(xué)科才得 以嚴(yán)密化。
學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到， “極限”引入的必要性：因?yàn)椋鷶?shù)是人們 已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無(wú)法處理“無(wú)限”的概念。所以，必須要利用代數(shù)處理代表無(wú) 限的量，這時(shí)就精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，我們可以知道，這個(gè)概 念繞過(guò)了用一個(gè)數(shù)除以 0 的麻煩，相反引入了一個(gè)過(guò)程任意小量。就是說(shuō)，除的數(shù)不是零， 所以有意義，同時(shí)，這個(gè)小量可以取任意小，只要滿足在德爾塔區(qū)間，都小于該任意小量， 我們就說(shuō)他的極限為該數(shù)——你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧， 但是， 他的實(shí)用性證明， 這樣的定 義還算比較完善，給出了正確推論的可能性。這個(gè)概念是成功的。
微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、 經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、 社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中， 有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。 特別是計(jì)算 機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。
客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引 入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述了。
由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深， 也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要， 一門新的數(shù)學(xué)分支就 繼解析幾何之后產(chǎn)生了， 這就是微積分學(xué)。 微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重 要的，可以說(shuō)它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。
微積分的本質(zhì)
【參考文獻(xiàn)】 劉里鵬 .《從割圓術(shù)走向無(wú)窮小——揭秘微積分》 ，長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù) 出版社， 2009
1．用文字表述： 增量無(wú)限趨近于零，割線無(wú)限趨近于切線，曲線無(wú)限趨近于直線，從而以直代曲，以 線性化的方法解決非線性問題，這就是微積分理論的精髓所在。
2．用式子表示：
微積分的基本方法
微積分的基本原理告訴我們微分和積分是互逆的運(yùn)算， 微積分的精髓告訴我們我們之所 以可以解決很多非線性問題， 本質(zhì)的原因在于我們化曲為直了， 現(xiàn)實(shí)生活中我們會(huì)遇到很多 非線性問題，那么解決這樣的問題有沒有統(tǒng)一的方法呢？
經(jīng)過(guò)研究思考和總結(jié)，筆者認(rèn)為，微積分的基本方法在于：先微分，后積分。
筆者所看到的是， 現(xiàn)在的教材沒有注意對(duì)這些基本問題的總結(jié)， 基本上所有的教材每講 到積分時(shí)都還重復(fù)古人無(wú)限細(xì)分取極限的思想，講到弧長(zhǎng)時(shí)取極限，講到面積時(shí)又取極限， 最后用一個(gè)約等號(hào)打發(fā)過(guò)去。 這樣一來(lái)不僅讓學(xué)生聽得看得滿頭霧水， 而且很有牽強(qiáng)附會(huì)之 嫌，其實(shí)懂得微積分的本質(zhì)和基本方法后根本不需要再那么重復(fù)。
微積分學(xué)的建立
從微積分成為一門學(xué)科來(lái)說(shuō)， 是在十七世紀(jì)， 但是， 微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn) 生了。
公元前三世紀(jì)， 古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、 球和球冠面積、 螺線下 面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中， 就隱含著近代積分學(xué)的思想。 作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理 論來(lái)說(shuō)，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國(guó)的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇” 中，記有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭” 。三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之 彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無(wú)所失矣。 ”這些都是樸素的、 也是很典型的極限概念。
到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。 歸結(jié)起來(lái)， 大約有四種主要類型的問題： 第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的， 也就是求即 時(shí)速度的問題。 第二類問題是求曲線的切線的問題。 第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值 問題。第四類問題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積 相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。
十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、 天文學(xué)家、 物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的 研究工作， 如法國(guó)的費(fèi)馬、 笛卡爾、 羅伯瓦、 笛沙格； 英國(guó)的巴羅、 瓦里士； 德國(guó)的開普勒； 意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。
十七世紀(jì)下半葉， 在前人工作的基礎(chǔ)上， 英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別 在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作， 雖然這只是十分初步的工作。 他們的 最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起， 一個(gè)是切線問題 （微分學(xué)的中心問題） ， 一個(gè)是求積問題 （積分學(xué)的中心問題 ）。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量， 因此這門學(xué)科早期也稱為無(wú)窮 小分析， 這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。 牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué) 來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。
牛頓在 1671 年寫了《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》 ，這本書直到 1736 年才出版，它在這本書里 指出， 變量是由點(diǎn)、 線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的， 否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的 靜止集合。 他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量， 把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。 牛頓在流數(shù)術(shù)中所提 出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法） ；已知運(yùn)動(dòng)的速度求 給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程 （積分法 ）。
德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者， 1684 年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的 微積分文獻(xiàn)， 這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字 《一種求極大極小和切線的新方法， 它 也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》 。就是這樣一篇說(shuō)理也頗含糊 的文章，卻有劃時(shí)代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。 1686 年，萊布尼 茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。 他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一， 他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)， 遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)， 這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。 現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就 是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。
