中國戰(zhàn)國時代（公元前7世紀），我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，即老莊哲學中所有的無限可分性和極限思想；公元前4世紀《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。這是樸素的、也是很典型的極限概念。而極限理論便是微分學的基礎(chǔ)。
古希臘時期（公元前3世紀），阿基米德用內(nèi)接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率愈來愈好的近似值，也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積。這是窮盡法的古典例子之一，可以說是積分思想的起源。
17世紀，許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。
17世紀下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。
19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進一步的發(fā)展開來。
1874年，德國數(shù)學家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個沒有導數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認識到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。外爾斯特拉斯最終完成了對實數(shù)系更深刻的性質(zhì)的理解，使得數(shù)學分析完全由實數(shù)系導出，脫離了知覺理解和幾何直觀。
微積分( Calculus )是高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應用的數(shù)學分支。 它是數(shù)學的一個基礎(chǔ)學科。內(nèi)容主要包括極限極限、微分學、 積分學及其應用。微分學包括 求導數(shù)的運算， 是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、 速度、加速度和曲線的斜率等均可 用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供 一套通用的方法。
微積分的基本介紹
微積分學基本定理指出，求不定積分與求導函數(shù)互為逆運算 ［把上下限代入不定積分即
得到積分值，而微分則是導數(shù)值與自變量增量的乘積 ］，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學
的原因。 我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學， 但是在教學中， 微分學一般會 先被引入。
微積分學是微分學和積分學的總稱。 它是一種數(shù)學思想， ‘無限細分'就是微分， ‘無限 求和'就是積分。 十七世紀后半葉， 牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學家都參加過準備的工作， 分別獨立地建立了微積分學。 他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量， 但是理論基礎(chǔ)是 不牢固的。因為“無限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進行演算，所以，直到十九世 紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論， 康托爾等建立了嚴格的實數(shù)理論， 這門學科才得 以嚴密化。
學習微積分學，首要的一步就是要理解到， “極限”引入的必要性：因為，代數(shù)是人們 已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以，必須要利用代數(shù)處理代表無 限的量，這時就精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，我們可以知道，這個概 念繞過了用一個數(shù)除以 0 的麻煩，相反引入了一個過程任意小量。就是說，除的數(shù)不是零， 所以有意義，同時，這個小量可以取任意小，只要滿足在德爾塔區(qū)間，都小于該任意小量， 我們就說他的極限為該數(shù)——你可以認為這是投機取巧， 但是， 他的實用性證明， 這樣的定 義還算比較完善，給出了正確推論的可能性。這個概念是成功的。
微積分是與實際應用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、 經(jīng)濟學等自然科學、 社會科學及應用科學等多個分支中， 有越來越廣泛的應用。 特別是計算 機的發(fā)明更有助于這些應用的不斷發(fā)展。
客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學中引 入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學來加以描述了。
由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深， 也由于科學技術(shù)發(fā)展的需要， 一門新的數(shù)學分支就 繼解析幾何之后產(chǎn)生了， 這就是微積分學。 微積分學這門學科在數(shù)學發(fā)展中的地位是十分重 要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學中的最大的一個創(chuàng)造。
微積分的本質(zhì)
【參考文獻】 劉里鵬 .《從割圓術(shù)走向無窮小——揭秘微積分》 ，長沙：湖南科學技術(shù) 出版社， 2009
1．用文字表述： 增量無限趨近于零，割線無限趨近于切線，曲線無限趨近于直線，從而以直代曲，以 線性化的方法解決非線性問題，這就是微積分理論的精髓所在。
2．用式子表示：
微積分的基本方法
微積分的基本原理告訴我們微分和積分是互逆的運算， 微積分的精髓告訴我們我們之所 以可以解決很多非線性問題， 本質(zhì)的原因在于我們化曲為直了， 現(xiàn)實生活中我們會遇到很多 非線性問題，那么解決這樣的問題有沒有統(tǒng)一的方法呢？
經(jīng)過研究思考和總結(jié)，筆者認為，微積分的基本方法在于：先微分，后積分。
筆者所看到的是， 現(xiàn)在的教材沒有注意對這些基本問題的總結(jié)， 基本上所有的教材每講 到積分時都還重復古人無限細分取極限的思想，講到弧長時取極限，講到面積時又取極限， 最后用一個約等號打發(fā)過去。 這樣一來不僅讓學生聽得看得滿頭霧水， 而且很有牽強附會之 嫌，其實懂得微積分的本質(zhì)和基本方法后根本不需要再那么重復。
微積分學的建立
從微積分成為一門學科來說， 是在十七世紀， 但是， 微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn) 生了。
公元前三世紀， 古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、 球和球冠面積、 螺線下 面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中， 就隱含著近代積分學的思想。 作為微分學基礎(chǔ)的極限理 論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇” 中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭” 。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之 彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。 ”這些都是樸素的、 也是很典型的極限概念。
到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。 歸結(jié)起來， 大約有四種主要類型的問題： 第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的， 也就是求即 時速度的問題。 第二類問題是求曲線的切線的問題。 第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值 問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積 相當大的物體作用于另一物體上的引力。
十七世紀的許多著名的數(shù)學家、 天文學家、 物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的 研究工作， 如法國的費馬、 笛卡爾、 羅伯瓦、 笛沙格； 英國的巴羅、 瓦里士； 德國的開普勒； 意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。
十七世紀下半葉， 在前人工作的基礎(chǔ)上， 英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別 在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作， 雖然這只是十分初步的工作。 他們的 最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起， 一個是切線問題 （微分學的中心問題） ， 一個是求積問題 （積分學的中心問題 ）。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量， 因此這門學科早期也稱為無窮 小分析， 這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。 牛頓研究微積分著重于從運動學 來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學來考慮的。
牛頓在 1671 年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》 ，這本書直到 1736 年才出版，它在這本書里 指出， 變量是由點、 線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的， 否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的 靜止集合。 他把連續(xù)變量叫做流動量， 把這些流動量的導數(shù)叫做流數(shù)。 牛頓在流數(shù)術(shù)中所提 出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法） ；已知運動的速度求 給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程 （積分法 ）。
德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者， 1684 年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的 微積分文獻， 這篇文章有一個很長而且很古怪的名字 《一種求極大極小和切線的新方法， 它 也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》 。就是這樣一篇說理也頗含糊 的文章，卻有劃時代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。 1686 年，萊布尼 茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻。 他是歷史上最偉大的符號學者之一， 他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號， 遠遠優(yōu)于牛頓的符號， 這對微積分的發(fā)展有極大的影響。 現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就 是當時萊布尼茨精心選用的。
