北京大學(xué)的變分學(xué)精品課具有豐富的內(nèi)容和深刻的理論體系，以下是其簡(jiǎn)介：

課程內(nèi)容

經(jīng)典變分學(xué)基礎(chǔ)：涵蓋變分法的基本概念，如泛函的定義、泛函的極值等。以最速降線問(wèn)題等為例，引入泛函的概念，即函數(shù)的函數(shù)，其值取決于函數(shù)的整體形態(tài)而非某個(gè)特定點(diǎn)的值。還會(huì)介紹變分的定義以及泛函變分的計(jì)算方法，如同在函數(shù)極值問(wèn)題中微分起重要作用一樣，泛函變分在泛函極值問(wèn)題中起著類似的關(guān)鍵作用。

直接方法及其理論基礎(chǔ)：重點(diǎn)講解直接方法，這是求解變分問(wèn)題的重要手段。通過(guò)直接分析問(wèn)題，發(fā)展出一些近似解法，如里茨法等。同時(shí)介紹這些方法的理論基礎(chǔ)，讓學(xué)生理解方法的適用范圍和局限性。

專題選講：涉及變分學(xué)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用專題，如在物理學(xué)中的應(yīng)用，幾乎所有的自然定律都能用變分原理的形式予以表達(dá)，像光學(xué)中的費(fèi)馬原理、分析力學(xué)中的哈密頓原理等；在工程學(xué)中，變分法被用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化、控制理論、航空航天等領(lǐng)域解決最優(yōu)化問(wèn)題；在計(jì)算機(jī)科學(xué)的機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理等領(lǐng)域也有應(yīng)用，如變分推斷、變分自編碼器等。

教材與師資

教材方面：張恭慶著的《變分學(xué)講義》是課程的重要參考資料。該書是作者在北京大學(xué)為高年級(jí)本科生和低年級(jí)研究生開(kāi)設(shè) “變分學(xué)” 課程所用的講義，其材料選取、內(nèi)容編排、問(wèn)題與概念表述以及證明的分析與講解均極具特色。

師資力量：由在變分學(xué)領(lǐng)域有深厚造詣的教師授課，如張恭慶等。他們憑借豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和深厚的學(xué)術(shù)功底，能夠深入淺出地講解復(fù)雜的變分學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生深入探索變分學(xué)的奧秘。

課程目標(biāo)

使學(xué)生掌握變分學(xué)的基本理論和方法，理解泛函極值問(wèn)題的本質(zhì)，學(xué)會(huì)運(yùn)用變分法求解一些經(jīng)典的極值問(wèn)題。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，讓學(xué)生能夠?qū)⒆兎謱W(xué)的知識(shí)應(yīng)用到相關(guān)領(lǐng)域的問(wèn)題中，如物理、工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)等，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決跨學(xué)科問(wèn)題的綜合素質(zhì)。

課程特色

內(nèi)容系統(tǒng)性強(qiáng)：從經(jīng)典變分學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，到直接方法及其理論基礎(chǔ)，再到專題選講，由淺入深、循序漸進(jìn)地構(gòu)建起變分學(xué)的知識(shí)體系，使學(xué)生能夠全面、系統(tǒng)地掌握變分學(xué)的核心內(nèi)容。

理論與應(yīng)用結(jié)合：課程不僅注重變分學(xué)的理論知識(shí)傳授，還強(qiáng)調(diào)其在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，通過(guò)大量的實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)變分學(xué)的廣泛應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新思維。

注重?cái)?shù)學(xué)思維培養(yǎng)：在教學(xué)過(guò)程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維、邏輯推理和計(jì)算能力，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去分析和解決問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

          課程目錄
第1講 前言與變分問(wèn)題（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第2講 前言與變分問(wèn)題（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第3講 Euler-Lagrange方程（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第4講 Euler-Lagrange方程（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第5講 極小點(diǎn)的必要條件和充分條件（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第6講 極小點(diǎn)的必要條件與充分條件（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第7講 強(qiáng)極小與臨界場(chǎng)（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第8講 強(qiáng)極小與臨界場(chǎng)（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第9講 強(qiáng)極小與臨界場(chǎng)（3）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第10講 Hamilton Jacobi理論（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第11講 Hamilton Jacobi理論（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第12講 含多重積分的變分問(wèn)題【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第13講 約束變分問(wèn)題（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第14講 約束變分問(wèn)題（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第15講 守恒律與Noether定理（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第16講 守恒律與Noether定理（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第17講 直接方法（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第18講 直接方法（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第19講 Sobolev空間（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第20講 Sobolev空間（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第21講 弱下半連續(xù)性（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第22講 弱下半連續(xù)性（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第23講 存在性與正則性（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第24講 存在性與正則性（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第25講 正交投影方法【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第26講 特征值問(wèn)題【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第27講 變分問(wèn)題的數(shù)值方法（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第28講 變分問(wèn)題的數(shù)值方法（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第29講 松弛泛函與圖象處理（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第30講 松弛泛函與圖象處理（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第31講 最優(yōu)控制問(wèn)題（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第32講 最優(yōu)控制問(wèn)題（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第33講 Ekeland變分原理與山路定理（1）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】
第34講 Ekeland變分原理與山路定理（2）【變分學(xué)（北京大學(xué)）】