北京大學的變分學精品課具有豐富的內(nèi)容和深刻的理論體系，以下是其簡介：

課程內(nèi)容

經(jīng)典變分學基礎：涵蓋變分法的基本概念，如泛函的定義、泛函的極值等。以最速降線問題等為例，引入泛函的概念，即函數(shù)的函數(shù)，其值取決于函數(shù)的整體形態(tài)而非某個特定點的值。還會介紹變分的定義以及泛函變分的計算方法，如同在函數(shù)極值問題中微分起重要作用一樣，泛函變分在泛函極值問題中起著類似的關鍵作用。

直接方法及其理論基礎：重點講解直接方法，這是求解變分問題的重要手段。通過直接分析問題，發(fā)展出一些近似解法，如里茨法等。同時介紹這些方法的理論基礎，讓學生理解方法的適用范圍和局限性。

專題選講：涉及變分學在不同領域的應用專題，如在物理學中的應用，幾乎所有的自然定律都能用變分原理的形式予以表達，像光學中的費馬原理、分析力學中的哈密頓原理等；在工程學中，變分法被用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化、控制理論、航空航天等領域解決最優(yōu)化問題；在計算機科學的機器學習、圖像處理等領域也有應用，如變分推斷、變分自編碼器等。

教材與師資

教材方面：張恭慶著的《變分學講義》是課程的重要參考資料。該書是作者在北京大學為高年級本科生和低年級研究生開設 “變分學” 課程所用的講義，其材料選取、內(nèi)容編排、問題與概念表述以及證明的分析與講解均極具特色。

師資力量：由在變分學領域有深厚造詣的教師授課，如張恭慶等。他們憑借豐富的教學經(jīng)驗和深厚的學術功底，能夠深入淺出地講解復雜的變分學知識，引導學生深入探索變分學的奧秘。

課程目標

使學生掌握變分學的基本理論和方法，理解泛函極值問題的本質(zhì)，學會運用變分法求解一些經(jīng)典的極值問題。

培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和解決實際問題的能力，讓學生能夠?qū)⒆兎謱W的知識應用到相關領域的問題中，如物理、工程、計算機科學等，提高學生運用數(shù)學知識解決跨學科問題的綜合素質(zhì)。

課程特色

內(nèi)容系統(tǒng)性強：從經(jīng)典變分學的基礎內(nèi)容，到直接方法及其理論基礎，再到專題選講，由淺入深、循序漸進地構(gòu)建起變分學的知識體系，使學生能夠全面、系統(tǒng)地掌握變分學的核心內(nèi)容。

理論與應用結(jié)合：課程不僅注重變分學的理論知識傳授，還強調(diào)其在不同領域的應用，通過大量的實例讓學生體會變分學的廣泛應用價值，激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)新思維。

注重數(shù)學思維培養(yǎng)：在教學過程中，注重培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象思維、邏輯推理和計算能力，引導學生從數(shù)學的角度去分析和解決問題，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

          課程目錄
第1講 前言與變分問題（1）【變分學（北京大學）】
第2講 前言與變分問題（2）【變分學（北京大學）】
第3講 Euler-Lagrange方程（1）【變分學（北京大學）】
第4講 Euler-Lagrange方程（2）【變分學（北京大學）】
第5講 極小點的必要條件和充分條件（1）【變分學（北京大學）】
第6講 極小點的必要條件與充分條件（2）【變分學（北京大學）】
第7講 強極小與臨界場（1）【變分學（北京大學）】
第8講 強極小與臨界場（2）【變分學（北京大學）】
第9講 強極小與臨界場（3）【變分學（北京大學）】
第10講 Hamilton Jacobi理論（1）【變分學（北京大學）】
第11講 Hamilton Jacobi理論（2）【變分學（北京大學）】
第12講 含多重積分的變分問題【變分學（北京大學）】
第13講 約束變分問題（1）【變分學（北京大學）】
第14講 約束變分問題（2）【變分學（北京大學）】
第15講 守恒律與Noether定理（1）【變分學（北京大學）】
第16講 守恒律與Noether定理（2）【變分學（北京大學）】
第17講 直接方法（1）【變分學（北京大學）】
第18講 直接方法（2）【變分學（北京大學）】
第19講 Sobolev空間（1）【變分學（北京大學）】
第20講 Sobolev空間（2）【變分學（北京大學）】
第21講 弱下半連續(xù)性（1）【變分學（北京大學）】
第22講 弱下半連續(xù)性（2）【變分學（北京大學）】
第23講 存在性與正則性（1）【變分學（北京大學）】
第24講 存在性與正則性（2）【變分學（北京大學）】
第25講 正交投影方法【變分學（北京大學）】
第26講 特征值問題【變分學（北京大學）】
第27講 變分問題的數(shù)值方法（1）【變分學（北京大學）】
第28講 變分問題的數(shù)值方法（2）【變分學（北京大學）】
第29講 松弛泛函與圖象處理（1）【變分學（北京大學）】
第30講 松弛泛函與圖象處理（2）【變分學（北京大學）】
第31講 最優(yōu)控制問題（1）【變分學（北京大學）】
第32講 最優(yōu)控制問題（2）【變分學（北京大學）】
第33講 Ekeland變分原理與山路定理（1）【變分學（北京大學）】
第34講 Ekeland變分原理與山路定理（2）【變分學（北京大學）】