微積分是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一顆璀璨的明珠，是人類智慧的偉大成就之一。它主要研究函數(shù)的變化率和累積，包含微分和積分兩個(gè)核心概念，是解決現(xiàn)實(shí)世界中諸多復(fù)雜問題的有力工具。

課程背景

微積分的思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的相關(guān)著作中就已蘊(yùn)含其萌芽，中國(guó)三國(guó)時(shí)期劉徽的割圓術(shù)也是極限思想的經(jīng)典體現(xiàn)。到了 17 世紀(jì)，隨著社會(huì)發(fā)展，基于天文、航海等實(shí)際需求，牛頓和萊布尼茨在前人基礎(chǔ)上總結(jié)創(chuàng)立了微積分，使其成為數(shù)學(xué)的重要分支。

課程目標(biāo)

通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生將深入理解微積分的基本概念，如極限、導(dǎo)數(shù)、積分等，掌握其核心思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)更高深的數(shù)學(xué)知識(shí)及相關(guān)學(xué)科奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用微積分知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，提升數(shù)學(xué)分析能力和邏輯思維能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用微積分的視角去看待世界，將復(fù)雜現(xiàn)象拆解并重新組合，從而更好地理解和預(yù)測(cè)世界的連續(xù)變化。

課程內(nèi)容概要

極限：極限是微積分的理論基礎(chǔ)，它描述了變量在特定變化過程中的終極狀態(tài)。通過學(xué)習(xí)極限，學(xué)生將理解函數(shù)在某一點(diǎn)附近的取值趨勢(shì)，掌握極限的計(jì)算方法，為后續(xù)導(dǎo)數(shù)和積分的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化率，在幾何上表現(xiàn)為曲線的切線斜率。課程將探討導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算方法及相關(guān)悖論，如 “導(dǎo)數(shù)的悖論”，幫助學(xué)生澄清對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。還會(huì)介紹用幾何方法求導(dǎo)，以及鏈?zhǔn)椒▌t、乘積法則等求導(dǎo)法則，讓學(xué)生能夠熟練計(jì)算各種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，包括指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)等常見類型。此外，還會(huì)涉及高階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)一步深入探討函數(shù)變化率的變化情況。

積分與微積分基本定理：積分主要研究函數(shù)的累積變化，例如求曲邊梯形的面積、物體運(yùn)動(dòng)的路程等都可借助積分來解決。微積分基本定理則建立了微分和積分之間的緊密聯(lián)系，它表明定積分可以通過原函數(shù)來計(jì)算，是微積分理論體系中的關(guān)鍵定理。課程將詳細(xì)講解積分的概念、計(jì)算方法以及微積分基本定理的證明和應(yīng)用，讓學(xué)生明白面積和斜率之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)微積分的精妙之處。

泰勒級(jí)數(shù)：泰勒級(jí)數(shù)是微積分中的重要內(nèi)容，它可以將一個(gè)函數(shù)表示為冪級(jí)數(shù)的形式，便于對(duì)函數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算和分析函數(shù)的性質(zhì)。通過學(xué)習(xí)泰勒級(jí)數(shù)，學(xué)生將掌握一種強(qiáng)大的函數(shù)逼近方法，進(jìn)一步拓展對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用能力。

課程意義

微積分在眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的重要基礎(chǔ)。在物理學(xué)中，用于分析物體的運(yùn)動(dòng)、受力等；在工程學(xué)中，可用于解決結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、信號(hào)處理等問題；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，能幫助分析成本、收益、邊際效應(yīng)等。本課程將通過實(shí)際案例，展示微積分在這些領(lǐng)域的應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)其強(qiáng)大的實(shí)用性和廣泛的影響力，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣和熱情。

總之，“微積分的本質(zhì)” 課程將以一種生動(dòng)、直觀且深入的方式，帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)微積分的奇妙世界，揭示其核心概念和原理，讓學(xué)生領(lǐng)略微積分的魅力與價(jià)值，掌握這一重要的數(shù)學(xué)工具，為未來的學(xué)習(xí)和研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

課程目錄

課程簡(jiǎn)介

導(dǎo)數(shù)的悖論

用幾何來求導(dǎo)

直觀理解鏈?zhǔn)椒▌t和乘積法則

指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)

隱函數(shù)求導(dǎo)是怎么回事？

極限

積分與微積分基本定理

面積和斜率有什么聯(lián)系？

9 腳注 - 高階導(dǎo)數(shù)

泰勒級(jí)數(shù)