微積分是數(shù)學領域中一顆璀璨的明珠，是人類智慧的偉大成就之一。它主要研究函數(shù)的變化率和累積，包含微分和積分兩個核心概念，是解決現(xiàn)實世界中諸多復雜問題的有力工具。

課程背景

微積分的思想源遠流長，古希臘數(shù)學家阿基米德的相關著作中就已蘊含其萌芽，中國三國時期劉徽的割圓術也是極限思想的經(jīng)典體現(xiàn)。到了 17 世紀，隨著社會發(fā)展，基于天文、航海等實際需求，牛頓和萊布尼茨在前人基礎上總結創(chuàng)立了微積分，使其成為數(shù)學的重要分支。

課程目標

通過本課程的學習，學生將深入理解微積分的基本概念，如極限、導數(shù)、積分等，掌握其核心思想，為后續(xù)學習更高深的數(shù)學知識及相關學科奠定堅實基礎。同時，培養(yǎng)學生運用微積分知識解決實際問題的能力，提升數(shù)學分析能力和邏輯思維能力，讓學生學會用微積分的視角去看待世界，將復雜現(xiàn)象拆解并重新組合，從而更好地理解和預測世界的連續(xù)變化。

課程內(nèi)容概要

極限：極限是微積分的理論基礎，它描述了變量在特定變化過程中的終極狀態(tài)。通過學習極限，學生將理解函數(shù)在某一點附近的取值趨勢，掌握極限的計算方法，為后續(xù)導數(shù)和積分的學習做好鋪墊。

導數(shù)：導數(shù)反映了函數(shù)在某一點處的變化率，在幾何上表現(xiàn)為曲線的切線斜率。課程將探討導數(shù)的定義、計算方法及相關悖論，如 “導數(shù)的悖論”，幫助學生澄清對導數(shù)概念的理解。還會介紹用幾何方法求導，以及鏈式法則、乘積法則等求導法則，讓學生能夠熟練計算各種函數(shù)的導數(shù)，包括指數(shù)函數(shù)求導、隱函數(shù)求導等常見類型。此外，還會涉及高階導數(shù)的相關知識，進一步深入探討函數(shù)變化率的變化情況。

積分與微積分基本定理：積分主要研究函數(shù)的累積變化，例如求曲邊梯形的面積、物體運動的路程等都可借助積分來解決。微積分基本定理則建立了微分和積分之間的緊密聯(lián)系，它表明定積分可以通過原函數(shù)來計算，是微積分理論體系中的關鍵定理。課程將詳細講解積分的概念、計算方法以及微積分基本定理的證明和應用，讓學生明白面積和斜率之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會微積分的精妙之處。

泰勒級數(shù)：泰勒級數(shù)是微積分中的重要內(nèi)容，它可以將一個函數(shù)表示為冪級數(shù)的形式，便于對函數(shù)進行近似計算和分析函數(shù)的性質(zhì)。通過學習泰勒級數(shù)，學生將掌握一種強大的函數(shù)逼近方法，進一步拓展對函數(shù)的認識和應用能力。

課程意義

微積分在眾多領域都有著廣泛的應用，是物理學、工程學、經(jīng)濟學等學科的重要基礎。在物理學中，用于分析物體的運動、受力等；在工程學中，可用于解決結構設計、信號處理等問題；在經(jīng)濟學中，能幫助分析成本、收益、邊際效應等。本課程將通過實際案例，展示微積分在這些領域的應用，讓學生體會其強大的實用性和廣泛的影響力，培養(yǎng)學生將數(shù)學知識應用于實際問題的能力，激發(fā)學生學習微積分的興趣和熱情。

總之，“微積分的本質(zhì)” 課程將以一種生動、直觀且深入的方式，帶領學生走進微積分的奇妙世界，揭示其核心概念和原理，讓學生領略微積分的魅力與價值，掌握這一重要的數(shù)學工具，為未來的學習和研究打下堅實的基礎。

課程目錄

課程簡介

導數(shù)的悖論

用幾何來求導

直觀理解鏈式法則和乘積法則

指數(shù)函數(shù)求導

隱函數(shù)求導是怎么回事？

極限

積分與微積分基本定理

面積和斜率有什么聯(lián)系？

9 腳注 - 高階導數(shù)

泰勒級數(shù)