![[李尚志]線性代數教學視頻](/pic/uploadimg/2014-10/2014101221141011378.jpg)
模糊數學是研究和處理模糊性現象的一種數學理論和方法 。 1965 年美國控制論學者L.A.扎德發(fā)表論文《模糊集合》，標志著這門新學科的誕生。現代數學建立在集合論的基礎上。一組對象確定一組屬性，人們可以通過指明屬性來說明概念，也可以通過指明對象來說明。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延實際上就是集合。一切現實的理論系統(tǒng)都有可能納入集合描述的數學框架。經典的集合論只把自己的表現力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地規(guī)定：每一個集合都必須由確定的元素所構成，元素對集合的隸屬關系必須是明確的。對模糊性的數學處理是以將經典的集合論擴展為模糊集合論為基礎的，乘積空間中的模糊子集就給出了一對元素間的模糊關系。對模糊現象的數學處理就是在這個基礎上展開的。
從純數學角度看，集合概念的擴充使許多數學分支都增添了新的內容。例如不分明拓撲、不分明線性空間、模糊測度與積分、模糊群、模糊范疇、模糊圖論等。其中有些領域已有比較深入的研究。
模糊數學作為一門獨立的數學學科, 其應用范圍已遍及自然科學和社會科學的幾乎所有的領域, 因此, 越來越受到人們的重視。 許多科學工作者迫切地希望學習它、應用它,當然也希望讀到淺顯易懂的入門性教科書。 但刊行于世的模糊數學教科書卻因過于追求數學嚴密性而使初學者特別是數學基礎稍薄弱者望而卻步, 因此, 有必要撰寫一些淡化數學嚴密性、突出實用性的入門性讀物。 本講座將遵循這一原則簡明扼要地介紹模糊數學的基本理論及常用方法。 基本理論部分大致有模糊集的定義與運算、截集與分解定理、模糊映射與擴展原理、模糊關系及模糊矩陣等。常用方子1法部分大體包括模糊模式識別、模糊
聚類分析及模糊綜合評判等。 此外, 我們還將介紹許多實際應用的典型例本講座試圖通過上述內容的講述, 使初學者特別是非數學專業(yè)的學者能夠在較短的時間內學會具體地應用模糊數學。為了使讀者深刻地領會模糊數學的基本概念。
模糊數學的產生
二十世紀六十年代，產生了模糊數學這門新興學科。 現代數學是建立在集合論的基礎上。集合論的重要意義就一個側面看，在與它把數學的抽象能力延伸到人類認識過程的深處。一組對象確定一組屬性，人們可以通過說明屬性來說明概念（內涵），也可以通過指明對象來說明它。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延其實就是集合。從這個意義上講，集合可以表現概念，而集合論中的關系和運算又可以表現判斷和推理，一切現實的理論系統(tǒng)都一可能納入集合描述的數學框架。
但是，數學的發(fā)展也是階段性的。經典集合論只能把自己的表現力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個集合都必須由明確的元素構成，元素對集合的隸屬關系必須是明確的，決不能模棱兩可。對于那些外延不分明的概念和事物，經典集合論是暫時不去反映的，屬于待發(fā)展的范疇。
在較長時間里，精確數學及隨機數學在描述自然界多種事物的運動規(guī)律中，獲得顯著效果。但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現象。以前人們回避它，但是，由于現代科技所面對的系統(tǒng)日益復雜，模糊性總是伴隨著復雜性出現。
各門學科，尤其是人文、社會學科及其它“軟科學”的數學化、定量化趨向把模糊性的數學處理問題推向中心地位。更重要的是，隨著電子計算機、控制論、系統(tǒng)科學的迅速發(fā)展，要使計算機能像人腦那樣對復雜事物具有識別能力，就必須研究和處理模糊性。
我們研究人類系統(tǒng)的行為，或者處理可與人類系統(tǒng)行為相比擬的復雜系統(tǒng)，如航天系統(tǒng)、人腦系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等，參數和變量甚多，各種因素相互交錯，系統(tǒng)很復雜，它的模糊性也很明顯。從認識方面說，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。
在日常生活中，經常遇到許多模糊事物，沒有分明的數量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比如，比較年輕、高個、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠……。在人們的工作經驗中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計算數學之外，還需要模糊數學。
人與計算機相比，一般來說，人腦具有處理模糊信息的能力，善于判斷和處理模糊現象。但計算機對模糊現象識別能力較差，為了提高計算機識別模糊現象的能力，就需要把人們常用的模糊語言設計成機器能接受的指令和程序，以便機器能像人腦那樣簡潔靈活的做出相應的判斷，從而提高自動識別和控制模糊現象的效率。這樣，就需要尋找一種描述和加工模糊信息的數學工具，這就推動數學家深入研究模糊數學。所以，模糊數學的產生是有其科學技術與數學發(fā)展的必然性。
模糊數學的研究內容
1965年，美國控制論專家、數學家查德發(fā)表了論文《模糊集合》，標志著模糊數學這門學科的誕生。
三：模糊數學的研究內容主要有以下三個方面：
第一，研究模糊數學的理論，以及它和精確數學、隨機數學的關系。察德以精確數學集合論為基礎，并考慮到對數學的集合概念進行修改和推廣。他提出用“模糊集合”作為表現模糊事物的數學模型。并在“模糊集合”上逐步建立運算、變換規(guī)律，開展有關的理論研究，就有可能構造出研究現實世界中的大量模糊的數學基礎，能夠對看來相當復雜的模糊系統(tǒng)進行定量的描述和處理的數學方法。
在模糊集合中，給定范圍內元素對它的隸屬關系不一定只有“是”或“否”兩種情況，而是用介于0和1之間的實數來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態(tài)。比如“老人”是個模糊概念，70歲的肯定屬于老人，它的從屬程度是 1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為 0，按照查德給出的公式，55歲屬于“老”的程度為0.5，即“半老”，60歲屬于“老”的程度0.8。查德認為，指明各個元素的隸屬集合，就等于指定了一個集合。當隸屬于0和1之間值時，就是模糊集合。
第二，研究模糊語言學和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經常接受模糊語言與模糊信息，并能做出正確的識別和判斷。
為了實現用自然語言跟計算機進行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數學模型，才能給計算機輸入指令，建立和是的模糊數學模型，這是運用數學方法的關鍵。查德采用模糊集合理論來建立模糊語言的數學模型，使人類語言數量化、形式化。
如果我們把合乎語法的標準句子的從屬函數值定為1，那么，其他文法稍有錯誤，但尚能表達相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續(xù)數來表征它從屬于“正確句子”的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進行定量描述，并定出一套運算、變換規(guī)則。目前，模糊語言還很不成熟，語言學家正在深入研究。
人們的思維活動常常要求概念的確定性和精確性，采用形式邏輯的排中律，既非真既假，然后進行判斷和推理，得出結論。現有的計算機都是建立在二值邏輯基礎上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發(fā)揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。
為了使計算機能夠模擬人腦高級智能的特點，就必須把計算機轉到多值邏輯基礎上，研究模糊邏輯。目前，模糊羅基還很不成熟，尚需繼續(xù)研究。
第三，研究模糊數學的應用。模糊數學是以不確定性的事物為其研究對象的。模糊集合的出現是數學適應描述復雜事物的需要，查德的功績在于用模糊集合的理論找到解決模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數學與不確定性對象的數學溝通起來，過去精確數學、隨機數學描述感到不足之處，就能得到彌補。在模糊數學中，目前已有模糊拓撲學、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學、模糊邏輯學等分支。
