![[李尚志]線性代數(shù)教學(xué)視頻](/pic/uploadimg/2014-10/2014101221141011378.jpg)
模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)理論和方法 。 1965 年美國控制論學(xué)者L.A.扎德發(fā)表論文《模糊集合》，標(biāo)志著這門新學(xué)科的誕生。現(xiàn)代數(shù)學(xué)建立在集合論的基礎(chǔ)上。一組對象確定一組屬性，人們可以通過指明屬性來說明概念，也可以通過指明對象來說明。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延實際上就是集合。一切現(xiàn)實的理論系統(tǒng)都有可能納入集合描述的數(shù)學(xué)框架。經(jīng)典的集合論只把自己的表現(xiàn)力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地規(guī)定：每一個集合都必須由確定的元素所構(gòu)成，元素對集合的隸屬關(guān)系必須是明確的。對模糊性的數(shù)學(xué)處理是以將經(jīng)典的集合論擴展為模糊集合論為基礎(chǔ)的，乘積空間中的模糊子集就給出了一對元素間的模糊關(guān)系。對模糊現(xiàn)象的數(shù)學(xué)處理就是在這個基礎(chǔ)上展開的。
從純數(shù)學(xué)角度看，集合概念的擴充使許多數(shù)學(xué)分支都增添了新的內(nèi)容。例如不分明拓撲、不分明線性空間、模糊測度與積分、模糊群、模糊范疇、模糊圖論等。其中有些領(lǐng)域已有比較深入的研究。
模糊數(shù)學(xué)作為一門獨立的數(shù)學(xué)學(xué)科, 其應(yīng)用范圍已遍及自然科學(xué)和社會科學(xué)的幾乎所有的領(lǐng)域, 因此, 越來越受到人們的重視。 許多科學(xué)工作者迫切地希望學(xué)習(xí)它、應(yīng)用它,當(dāng)然也希望讀到淺顯易懂的入門性教科書。 但刊行于世的模糊數(shù)學(xué)教科書卻因過于追求數(shù)學(xué)嚴密性而使初學(xué)者特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)稍薄弱者望而卻步, 因此, 有必要撰寫一些淡化數(shù)學(xué)嚴密性、突出實用性的入門性讀物。 本講座將遵循這一原則簡明扼要地介紹模糊數(shù)學(xué)的基本理論及常用方法。 基本理論部分大致有模糊集的定義與運算、截集與分解定理、模糊映射與擴展原理、模糊關(guān)系及模糊矩陣等。常用方子1法部分大體包括模糊模式識別、模糊
聚類分析及模糊綜合評判等。 此外, 我們還將介紹許多實際應(yīng)用的典型例本講座試圖通過上述內(nèi)容的講述, 使初學(xué)者特別是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)者能夠在較短的時間內(nèi)學(xué)會具體地應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)。為了使讀者深刻地領(lǐng)會模糊數(shù)學(xué)的基本概念。
模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生
二十世紀六十年代，產(chǎn)生了模糊數(shù)學(xué)這門新興學(xué)科。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上。集合論的重要意義就一個側(cè)面看，在與它把數(shù)學(xué)的抽象能力延伸到人類認識過程的深處。一組對象確定一組屬性，人們可以通過說明屬性來說明概念（內(nèi)涵），也可以通過指明對象來說明它。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延其實就是集合。從這個意義上講，集合可以表現(xiàn)概念，而集合論中的關(guān)系和運算又可以表現(xiàn)判斷和推理，一切現(xiàn)實的理論系統(tǒng)都一可能納入集合描述的數(shù)學(xué)框架。
但是，數(shù)學(xué)的發(fā)展也是階段性的。經(jīng)典集合論只能把自己的表現(xiàn)力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個集合都必須由明確的元素構(gòu)成，元素對集合的隸屬關(guān)系必須是明確的，決不能模棱兩可。對于那些外延不分明的概念和事物，經(jīng)典集合論是暫時不去反映的，屬于待發(fā)展的范疇。
在較長時間里，精確數(shù)學(xué)及隨機數(shù)學(xué)在描述自然界多種事物的運動規(guī)律中，獲得顯著效果。但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現(xiàn)象。以前人們回避它，但是，由于現(xiàn)代科技所面對的系統(tǒng)日益復(fù)雜，模糊性總是伴隨著復(fù)雜性出現(xiàn)。
各門學(xué)科，尤其是人文、社會學(xué)科及其它“軟科學(xué)”的數(shù)學(xué)化、定量化趨向把模糊性的數(shù)學(xué)處理問題推向中心地位。更重要的是，隨著電子計算機、控制論、系統(tǒng)科學(xué)的迅速發(fā)展，要使計算機能像人腦那樣對復(fù)雜事物具有識別能力，就必須研究和處理模糊性。
我們研究人類系統(tǒng)的行為，或者處理可與人類系統(tǒng)行為相比擬的復(fù)雜系統(tǒng)，如航天系統(tǒng)、人腦系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等，參數(shù)和變量甚多，各種因素相互交錯，系統(tǒng)很復(fù)雜，它的模糊性也很明顯。從認識方面說，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。
在日常生活中，經(jīng)常遇到許多模糊事物，沒有分明的數(shù)量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比如，比較年輕、高個、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠……。在人們的工作經(jīng)驗中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經(jīng)煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計算數(shù)學(xué)之外，還需要模糊數(shù)學(xué)。
人與計算機相比，一般來說，人腦具有處理模糊信息的能力，善于判斷和處理模糊現(xiàn)象。但計算機對模糊現(xiàn)象識別能力較差，為了提高計算機識別模糊現(xiàn)象的能力，就需要把人們常用的模糊語言設(shè)計成機器能接受的指令和程序，以便機器能像人腦那樣簡潔靈活的做出相應(yīng)的判斷，從而提高自動識別和控制模糊現(xiàn)象的效率。這樣，就需要尋找一種描述和加工模糊信息的數(shù)學(xué)工具，這就推動數(shù)學(xué)家深入研究模糊數(shù)學(xué)。所以，模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是有其科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)發(fā)展的必然性。
模糊數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容
1965年，美國控制論專家、數(shù)學(xué)家查德發(fā)表了論文《模糊集合》，標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)這門學(xué)科的誕生。
三：模糊數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容主要有以下三個方面：
第一，研究模糊數(shù)學(xué)的理論，以及它和精確數(shù)學(xué)、隨機數(shù)學(xué)的關(guān)系。察德以精確數(shù)學(xué)集合論為基礎(chǔ)，并考慮到對數(shù)學(xué)的集合概念進行修改和推廣。他提出用“模糊集合”作為表現(xiàn)模糊事物的數(shù)學(xué)模型。并在“模糊集合”上逐步建立運算、變換規(guī)律，開展有關(guān)的理論研究，就有可能構(gòu)造出研究現(xiàn)實世界中的大量模糊的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠?qū)磥硐喈?dāng)復(fù)雜的模糊系統(tǒng)進行定量的描述和處理的數(shù)學(xué)方法。
在模糊集合中，給定范圍內(nèi)元素對它的隸屬關(guān)系不一定只有“是”或“否”兩種情況，而是用介于0和1之間的實數(shù)來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態(tài)。比如“老人”是個模糊概念，70歲的肯定屬于老人，它的從屬程度是 1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為 0，按照查德給出的公式，55歲屬于“老”的程度為0.5，即“半老”，60歲屬于“老”的程度0.8。查德認為，指明各個元素的隸屬集合，就等于指定了一個集合。當(dāng)隸屬于0和1之間值時，就是模糊集合。
第二，研究模糊語言學(xué)和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經(jīng)常接受模糊語言與模糊信息，并能做出正確的識別和判斷。
為了實現(xiàn)用自然語言跟計算機進行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數(shù)學(xué)模型，才能給計算機輸入指令，建立和是的模糊數(shù)學(xué)模型，這是運用數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵。查德采用模糊集合理論來建立模糊語言的數(shù)學(xué)模型，使人類語言數(shù)量化、形式化。
如果我們把合乎語法的標(biāo)準句子的從屬函數(shù)值定為1，那么，其他文法稍有錯誤，但尚能表達相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續(xù)數(shù)來表征它從屬于“正確句子”的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進行定量描述，并定出一套運算、變換規(guī)則。目前，模糊語言還很不成熟，語言學(xué)家正在深入研究。
人們的思維活動常常要求概念的確定性和精確性，采用形式邏輯的排中律，既非真既假，然后進行判斷和推理，得出結(jié)論。現(xiàn)有的計算機都是建立在二值邏輯基礎(chǔ)上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發(fā)揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。
為了使計算機能夠模擬人腦高級智能的特點，就必須把計算機轉(zhuǎn)到多值邏輯基礎(chǔ)上，研究模糊邏輯。目前，模糊羅基還很不成熟，尚需繼續(xù)研究。
第三，研究模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用。模糊數(shù)學(xué)是以不確定性的事物為其研究對象的。模糊集合的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)適應(yīng)描述復(fù)雜事物的需要，查德的功績在于用模糊集合的理論找到解決模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數(shù)學(xué)與不確定性對象的數(shù)學(xué)溝通起來，過去精確數(shù)學(xué)、隨機數(shù)學(xué)描述感到不足之處，就能得到彌補。在模糊數(shù)學(xué)中，目前已有模糊拓撲學(xué)、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學(xué)、模糊邏輯學(xué)等分支。
