本課程以線性泛函分析的基本理論為基礎(chǔ)，以微分方程和積分方程的內(nèi)容為背景，目的是把非線性泛函分析的基本思想、理論、方法和技巧傳授給學(xué)生，并通過(guò)講解這些理論、方法和技巧在一些具體實(shí)例中的應(yīng)用，使學(xué)生們利用非線性泛函分析的基本理論、方法和技巧去解決科學(xué)研究中遇到的一些非線性問(wèn)題。適用對(duì)象是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)的碩士研究生。

非線性泛函分析的理論與方法因其具有廣泛與重要的應(yīng)用背景，因此成為國(guó)際數(shù)學(xué)界近一時(shí)期的研究熱點(diǎn)之一。在17世紀(jì)人們研究泛函極值問(wèn)題采用的古典變分法，已經(jīng)涉及到無(wú)窮維空間上的非線性映射，隨著歲月的流逝，其后在自然科學(xué)和工程技術(shù)中出現(xiàn)了大量的非線性問(wèn)題.例如Euler彈性問(wèn)題、理想不可壓縮流體的漩渦運(yùn)動(dòng)、量子場(chǎng)論、萬(wàn)有引力的相對(duì)論、固體中的相變等，以及像經(jīng)濟(jì)學(xué)、遺傳學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域均出現(xiàn)了非線性現(xiàn)象.直到20世紀(jì)30年代，在集合論的基礎(chǔ)上，借助經(jīng)典微積分和線性泛函分析的思想，人們建立抽象空間的微積分，它的建立和成熟發(fā)展啟發(fā)人們用泛函分析的觀點(diǎn)和方法研究各種非線性問(wèn)題，標(biāo)志著非線性分析的研究翻開(kāi)了新的一頁(yè).本章研究和討論非線性算子的基本概念、抽象空間的微積分、隱函數(shù)與反函數(shù)定理以及特殊的非線性算子一單調(diào)算子的概念和性質(zhì).

本課程共分五章。

第一章論述非線性算子的一般性質(zhì)，包括連續(xù)性、有界性、全連續(xù)性、可微性等，并給出了隱函數(shù)定理和反函數(shù)定理。

第二章建立拓?fù)涠壤碚摗２粌H建立了最重要的有限維空間連續(xù)映像的Brouwer度和Banach空間全連續(xù)場(chǎng)的Leray-Schauder度，而且論述了較常用的凝聚場(chǎng)的拓?fù)涠群虯—proper映像的廣義拓?fù)涠取?/span>

第三章將半序和拓?fù)涠?不動(dòng)點(diǎn)指數(shù))相結(jié)合來(lái)研究非線性算子方程的正解，討論了常用的凹算子和凸算子的正解及多解問(wèn)題。

第四章主要證明強(qiáng)制半連續(xù)單調(diào)映像的滿射性和強(qiáng)制多值極大單調(diào)映像的滿射性。

第五章論述非線性問(wèn)題中的變分方法，既包括古典的極值理論，也包括屬于大范圍變分學(xué)的Minimax原理和山路引理等。