本課程以線性泛函分析的基本理論為基礎(chǔ)，以微分方程和積分方程的內(nèi)容為背景，目的是把非線性泛函分析的基本思想、理論、方法和技巧傳授給學生，并通過講解這些理論、方法和技巧在一些具體實例中的應(yīng)用，使學生們利用非線性泛函分析的基本理論、方法和技巧去解決科學研究中遇到的一些非線性問題。適用對象是基礎(chǔ)數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學和計算數(shù)學的碩士研究生。

非線性泛函分析的理論與方法因其具有廣泛與重要的應(yīng)用背景，因此成為國際數(shù)學界近一時期的研究熱點之一。在17世紀人們研究泛函極值問題采用的古典變分法，已經(jīng)涉及到無窮維空間上的非線性映射，隨著歲月的流逝，其后在自然科學和工程技術(shù)中出現(xiàn)了大量的非線性問題.例如Euler彈性問題、理想不可壓縮流體的漩渦運動、量子場論、萬有引力的相對論、固體中的相變等，以及像經(jīng)濟學、遺傳學、生物學等領(lǐng)域均出現(xiàn)了非線性現(xiàn)象.直到20世紀30年代，在集合論的基礎(chǔ)上，借助經(jīng)典微積分和線性泛函分析的思想，人們建立抽象空間的微積分，它的建立和成熟發(fā)展啟發(fā)人們用泛函分析的觀點和方法研究各種非線性問題，標志著非線性分析的研究翻開了新的一頁.本章研究和討論非線性算子的基本概念、抽象空間的微積分、隱函數(shù)與反函數(shù)定理以及特殊的非線性算子一單調(diào)算子的概念和性質(zhì).

本課程共分五章。

第一章論述非線性算子的一般性質(zhì)，包括連續(xù)性、有界性、全連續(xù)性、可微性等，并給出了隱函數(shù)定理和反函數(shù)定理。

第二章建立拓撲度理論。不僅建立了最重要的有限維空間連續(xù)映像的Brouwer度和Banach空間全連續(xù)場的Leray-Schauder度，而且論述了較常用的凝聚場的拓撲度和A—proper映像的廣義拓撲度。

第三章將半序和拓撲度(不動點指數(shù))相結(jié)合來研究非線性算子方程的正解，討論了常用的凹算子和凸算子的正解及多解問題。

第四章主要證明強制半連續(xù)單調(diào)映像的滿射性和強制多值極大單調(diào)映像的滿射性。

第五章論述非線性問題中的變分方法，既包括古典的極值理論，也包括屬于大范圍變分學的Minimax原理和山路引理等。