本課程以線性泛函分析的基本理論為基礎，以微分方程和積分方程的內容為背景，目的是把非線性泛函分析的基本思想、理論、方法和技巧傳授給學生，并通過講解這些理論、方法和技巧在一些具體實例中的應用，使學生們利用非線性泛函分析的基本理論、方法和技巧去解決科學研究中遇到的一些非線性問題。適用對象是基礎數學、應用數學和計算數學的碩士研究生。

非線性泛函分析的理論與方法因其具有廣泛與重要的應用背景，因此成為國際數學界近一時期的研究熱點之一。在17世紀人們研究泛函極值問題采用的古典變分法，已經涉及到無窮維空間上的非線性映射，隨著歲月的流逝，其后在自然科學和工程技術中出現了大量的非線性問題.例如Euler彈性問題、理想不可壓縮流體的漩渦運動、量子場論、萬有引力的相對論、固體中的相變等，以及像經濟學、遺傳學、生物學等領域均出現了非線性現象.直到20世紀30年代，在集合論的基礎上，借助經典微積分和線性泛函分析的思想，人們建立抽象空間的微積分，它的建立和成熟發(fā)展啟發(fā)人們用泛函分析的觀點和方法研究各種非線性問題，標志著非線性分析的研究翻開了新的一頁.本章研究和討論非線性算子的基本概念、抽象空間的微積分、隱函數與反函數定理以及特殊的非線性算子一單調算子的概念和性質.

本課程共分五章。

第一章論述非線性算子的一般性質，包括連續(xù)性、有界性、全連續(xù)性、可微性等，并給出了隱函數定理和反函數定理。

第二章建立拓撲度理論。不僅建立了最重要的有限維空間連續(xù)映像的Brouwer度和Banach空間全連續(xù)場的Leray-Schauder度，而且論述了較常用的凝聚場的拓撲度和A—proper映像的廣義拓撲度。

第三章將半序和拓撲度(不動點指數)相結合來研究非線性算子方程的正解，討論了常用的凹算子和凸算子的正解及多解問題。

第四章主要證明強制半連續(xù)單調映像的滿射性和強制多值極大單調映像的滿射性。

第五章論述非線性問題中的變分方法，既包括古典的極值理論，也包括屬于大范圍變分學的Minimax原理和山路引理等。