課程首介

離散數(shù)學(xué)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)一級(jí)學(xué)科的核心課程，是整個(gè)計(jì)算機(jī)學(xué)科的專業(yè)基礎(chǔ)課。

離散數(shù)學(xué)是以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互間的關(guān)系為主要目標(biāo)，其研究對(duì)象一般地是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)元素，因此它充分描述了計(jì)算機(jī)科學(xué)離散性的特點(diǎn)。

離散數(shù)學(xué)是隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展而逐步建立的，它形或于七十年代初期，是一門新興的工具性學(xué)科。

《離散數(shù)學(xué)》是信息管理與信息系統(tǒng)、電子商務(wù)專業(yè)本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課程。離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)及相互關(guān)系的學(xué)科，它綜合了計(jì)算機(jī)科學(xué)中所用到的各數(shù)學(xué)分支，為計(jì)算機(jī)科學(xué)及相關(guān)學(xué)科提供了有力的理論基礎(chǔ)和工具，其應(yīng)用在信息管理與開(kāi)發(fā)領(lǐng)域相當(dāng)廣泛。通過(guò)學(xué)習(xí)本課程，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、抽象思維和形式化思維能力，為學(xué)習(xí)各專業(yè)課程，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、程序設(shè)計(jì)、操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫(kù)原理、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、信息組織、信息檢索、項(xiàng)目管理、決策支持系統(tǒng)等課程，作了必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備，是將信息由人工處理轉(zhuǎn)為計(jì)算機(jī)自動(dòng)化處理的“橋梁”，從而提高學(xué)生的理論素質(zhì)以及獨(dú)立學(xué)習(xí)與工作的能力。

《離散數(shù)學(xué)》是應(yīng)用數(shù)學(xué)課，因此教學(xué)方式主要還是定理證明、例題講解以及學(xué)生課后的習(xí)題練習(xí)。本專業(yè)的《離散數(shù)學(xué)》是給其他專業(yè)課打基礎(chǔ)、作知識(shí)預(yù)備的，教學(xué)重點(diǎn)在于應(yīng)用，所以教學(xué)中選用的例題與習(xí)題多是與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合的，并要引導(dǎo)學(xué)生將專業(yè)課中涉及的內(nèi)容用離散數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決，強(qiáng)調(diào)的是加深理解、加強(qiáng)聯(lián)系，學(xué)以致用。在每章學(xué)完后會(huì)采用講習(xí)題課、討論答疑、批改作業(yè)等多種手段來(lái)檢查學(xué)生學(xué)習(xí)效果，部分習(xí)題解答要求學(xué)生編程序?qū)崿F(xiàn)。

高欺數(shù)學(xué)的發(fā)展

18世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)基本上是研究離散對(duì)象的數(shù)量和空間關(guān)系的科學(xué)。

之后，因天文學(xué)，物理學(xué)的發(fā)展，如行星軌道，牛頓三大力學(xué)定律等研究，極大地推動(dòng)了連續(xù)數(shù)學(xué)（以微積分，數(shù)學(xué)物理方程，實(shí)、復(fù)變函數(shù)論為代表）的發(fā)展。離散對(duì)象的研究則處于停滯狀態(tài)。

20世紀(jì)30年代，圖靈提出計(jì)算機(jī)的理論模型——圖靈機(jī)。這種模型早于實(shí)際制造計(jì)算機(jī)十多年，現(xiàn)實(shí)的計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力，本質(zhì)上和圖靈機(jī)的計(jì)算能力一樣。

由于在計(jì)算機(jī)內(nèi)，機(jī)器字長(zhǎng)總是有限的，它代表離散的數(shù)或其它離散對(duì)象，因此隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)的迅猛發(fā)展，離散數(shù)學(xué)就顯得重要。

數(shù)理邏輯：“證明”在計(jì)算科學(xué)的某些領(lǐng)域至關(guān)重要，構(gòu)造一個(gè)證明和寫一個(gè)程序的思維過(guò)程在本質(zhì)上是一樣的。組合分析：解決問(wèn)題的一個(gè)重要方面就是計(jì)數(shù)或枚舉對(duì)象。離散結(jié)構(gòu)：用來(lái)表示離散對(duì)象以及它們之間關(guān)系的抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，包括：集合、排列、關(guān)系、樹(shù)、圖。

算法化思維：許多問(wèn)題都可以通過(guò)構(gòu)造一個(gè)可以被程序?qū)崿F(xiàn)的算法來(lái)解決。它的三個(gè)步驟是：構(gòu)造（選擇合適的離散模型和操作步驟）、驗(yàn)證（算法的正確性）、評(píng)估（時(shí)間和空間的復(fù)雜性）。

應(yīng)用和建模：在可以想到的任何研究領(lǐng)域都有離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用。計(jì)算科學(xué)、化學(xué)、植物學(xué)、動(dòng)物學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、地理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等，構(gòu)造離散模型都是極其有用的解決問(wèn)題的方法。

為什么要學(xué)商欺數(shù)學(xué)

計(jì)算機(jī)求解的基本模式是：

實(shí)際問(wèn)題>數(shù)學(xué)建模>算法設(shè)計(jì)>編程實(shí)現(xiàn)離散數(shù)學(xué)為數(shù)學(xué)建模打下知識(shí)基礎(chǔ)、為算法設(shè)計(jì)提供具體指導(dǎo)

離散數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)實(shí)際上就是通用的抽象的模式的集合。告訴你各種模式的本質(zhì)特征和它們之間的關(guān)系，以及選用它們的策略；告訴你哪些問(wèn)題是可解的，哪些是當(dāng)前在圖靈機(jī)模型上無(wú)（最優(yōu)）解的，哪些是可以得到近似/較優(yōu)解的。簡(jiǎn)而言之，離散數(shù)學(xué)的作用就在于訓(xùn)練運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)作為問(wèn)題的抽象模型、構(gòu)造算法、解決問(wèn)題的能力。

課程目錄：

 1 - 1 01-課程介紹 (01_59) 1 - 4 04-數(shù)理邏輯介紹 (04_55) 1 - 3 03-正式內(nèi)容之前：悖論、版畫、卡農(nóng) (11_52) 1 - 2 02-正式內(nèi)容之前：形式化及其極限 (18_53) 1 - 5 05-什么是命題 (05_46) 1 - 6 06-排中律 (05_14) 1 - 7 07-命題符號(hào)化 (06_25) 1 - 8 08-邏輯聯(lián)結(jié)詞（上） (06_57) 1 - 9 09-邏輯聯(lián)結(jié)詞（下） (07_42) 1 - 10 10-命題公式 (06_36) 1 - 11 11-真值函數(shù) (06_37) 1 - 12 12-命題形式化 (06_33) 2 - 1 13-重言式 (06_11) 2 - 2 14-邏輯等價(jià)式和邏輯蘊(yùn)涵式 (17_39) 2 - 3 15-代入原理和替換原理 (05_41) 2 - 4 16-證明邏輯等價(jià)式和邏輯蘊(yùn)涵式 (13_53) 2 - 5 17-范式及基本術(shù)語(yǔ) (07_25) 2 - 6 18-求范式的一般步驟 (10_25) 2 - 7 19-主范式 (14_46) 2 - 8 20-聯(lián)結(jié)詞集完備性 (10_28) 2 - 9 21-形式系統(tǒng)和證明、演繹 (07_01) 2 - 10 22-命題演算形式系統(tǒng)PC (09_06) 2 - 11 23-PC中的定理證明 (07_52) 2 - 12 24-三個(gè)元定理 (15_29) 2 - 13 25-定理判定問(wèn)題 (15_37) 3 - 1 26-數(shù)理邏輯-個(gè)體、謂詞和量詞 (14_30) 3 - 2 27-數(shù)理邏輯-謂詞公式 (09_52) 3 - 3 28-數(shù)理邏輯-謂詞公式永真式 (13_57) 3 - 4 29-數(shù)理邏輯-謂詞演算形式系統(tǒng)FC (09_38) 3 - 5 30-數(shù)理邏輯-全稱引入規(guī)則及存在消除規(guī)則 (08_17) 3 - 6 31-數(shù)理邏輯-自然推理系統(tǒng) (14_31) 3 - 7 32-數(shù)理邏輯-ND中的定理證明 (06_51) 4 - 2 34-集合基本概念 (15_17) 4 - 4 36-集合基本運(yùn)算 (23_03) 4 - 5 37-集合族及運(yùn)算 (17_02) 4 - 7 39-自然數(shù)的定義 (11_35) 4 - 8 40-歸納原理 (07_25) 4 - 9 41-數(shù)學(xué)歸納法 (11_58) 5 - 1 42-有序組 (06_59) 5 - 3 44-關(guān)系定義 (14_17) 5 - 4 45-關(guān)系運(yùn)算 (09_13) 5 - 5 46-關(guān)系合成運(yùn)算 (19_00) 5 - 6 47-關(guān)系基本特性 (10_47)