復數是一種數域(對加、減、乘、除運算封閉）的突破，可以視為是更底層的抽象，而我們平常所能夠理解的實數是其選擇性表達的結果，這樣這種數學工具就有更加強大的對現實的解釋能力。對于特定的復雜的實函數的積分，我們可以通過升維到復數域，在這種更加底層的層次進行我們所熟悉的運算；對于微分方程也可以積分變換為一定的代數方程。三大變換，傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換是我們對復雜信號的分析和處理的有力工具。而小波分析，可能是我們想要的模式識別的具體實現。

第一章　復數與復變函數

1.復數的模是不是微積分的o(ρ)，其作為ρ=(x^2+y^2)^1/2是一種高維的關系，雖然在微積分的運算中被忽略？

復數之間的比較不能用大小，我們可否引入新的測度？

幅角的運算與指數的運算相似、，這是i^2=-1帶來的復雜變換關系從而帶來一定的數學形式美。當然其根底是牢靠的，是三角公式的運算的結果。兩個復數乘積的模等于它們的模相乘，兩個復數乘積的輻角等于它們的輻角相加。其幾何意義是將復數z1按逆時針方向旋轉一個角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。兩個復數的商的模等于它們的模的商，兩個復數的商的輻角等于被除數與除數的輻角之差。

棣模佛(De Moivre)公式就是一種推廣，或者說是更一般的形式。當K為特定的值時，可以視為有n個模相等但幅角相差一個常數，均勻分布在一個圓的點。這就是一種周期性。

要理解復平面，就必須在復球面理解，這是高維理解低維？還是一種由i^2=-1帶來的收斂？球面上的點，除去北極N外，都和復平面上的點之間存在一一對應的關系，而復數中有一個唯一的“無窮大”與復平面上的無窮遠點相對應, 記作￥。球面上的北極 N就是復數無窮大￥的幾何表示。其實作為一種如同微積分的無窮小量的一種奇異點，可能就是這種悖論式的描述上的其能夠收斂。

2.復變函數就是實函數的擴展（函數的對應關系，一個復變函數可以表示為一對二元實變函數的組合由于在特定情況下實部和虛部可以有一定的轉化，即一種相互作用），我們能夠得到更普適的規(guī)律，即在實數域可能是矛盾的但在復數域是可以理解的各種定理，這是高維對底層情況的包含，能夠在高維消除低維的矛盾。

基于集合論的各種定義，可以以一定的空間來表示這些集合。

嚴格的分析手段：對于任意確定的ε>0，總存在一個正數δ，使得對滿足0<∣z-z0∣<δ的一切z，都有∣f(z)-A∣<ε,則稱A為函數f(z)趨近于z0時的極限。只有ε、δ足夠小，我們就有很大的理由相信這極限是絕對存在的。極限思想是一種邊界。

函數的連續(xù)性，可導可微可積的基礎（不嚴格，存在特例）；復變函數的連續(xù)性的充要條件是實部和虛部函數具有相對獨立的連續(xù)性。我們的追求是有一種相互作用的函數，可能需要在虛數的基礎上繼續(xù)抽象出更高次的封閉運算，如五行（w=w,w^2=+/-w,w^3=-w,w^4=w^3=-w,w^5=w^2=+/-w，我們需要考慮運算的先后順序如同矩陣乘法不滿足交換律，而且還存在共同的作用，我們需要引入博弈論來解釋其最后的均衡）之于陰陽（i^2=-1自反律）。

變化的極限還是極限嗎？

3鄰域等等概念都是一套對所有元素的整體描述，是一種高維的概念，能夠在這個層次進行各種運算。這也是一種如同極限的奇異點，能夠形成如同悖論式的耦合的效果。所謂的內點、外點、邊界點都是如同無窮小量的底層元素。于是就有開集閉集區(qū)域（連通開集稱為區(qū)域）等等高維概念。這是一種抽象，也是一種升維。邊界的概念是我們的極限，也是運算的基礎。如有界集，閉曲線等等。這種連通性的存在使得我們可以考慮其拓撲性質。

第二章  解析函數

導數、解析函數的概念：導數，一種極限，是對變化率的求解，可以認為攜帶不同維度的信息。如果在區(qū)域D內都具有可導的性質，稱f(z)在區(qū)域D內可導。而微分體現的是可以以一定的無窮小量Δz的線性加和來逼近整體的變化趨勢。可導和可微是互逆的，可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導，可能需要用到勒貝格積分。解析的概念就是可導，就是連續(xù)，但這是一個整體的性質。（解析一定可導，可導不一定解析）其結果和數學分析的結論基本相同。

柯西-黎曼條件：解析函數(可導函數)的實部和虛部不是完全獨立的，它們是柯西-黎曼方程的一組解；柯西-黎曼條件是復變函數解析的必要條件而非充分條件

解析函數與調和函數的關系

初等函數：

指數函數，歐拉公式，多階導的不變性，加法定理，周期性

對數函數（多值函數），與幅角運算的相似性。

冪函數、三角函數、雙曲函數、反三角函數、反雙曲函數

初等復變多值函數的多值性是由于輻角的多值性引起的，w=Argz函數有無窮個不同的值： ，Argz的任意一個確定的值記為argz ，是一種降維的表達，如同微積分的無窮小量。幅角函數可以分解成無窮個單值連續(xù)分支；

第三章  復變函數的積分

復變函數的積分的概念和計算：累加計算，也是求極限，在這個層次微分和積分是互逆運算。復函積分與路徑無關，其求的是更高維度的量，如同第二類曲線積分。

柯西定理和柯西公式：當D是單連通區(qū)域，而f（z）是D上的解析函數時，復函數的積分與路徑無關，即f（ z ）在 D內沿任意可求長閉曲線積分為零。積分只與起點和終點相關。

閉路變形原理：在區(qū)域內的一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變。這與拓撲性質有一定的相關性，都是對不變性的描述。復合閉路定理

解析函數的高階導數公式：f(z)的各階導還是均在D中解析，有

原函數的加減運算可以等同于函數的積分運算。

格林公式：將區(qū)域積分的二重積分和曲線積分的一重積分進行互相轉化，是牛頓-萊布尼茨公式的推廣。是充要條件。

使用柯西公式進行積分計算：

平均值公式及最大模原理

調和函數，二元實變函數具有二階連續(xù)偏導且滿足拉普拉斯方程，這可以與復變函數有一定的等價關系，由于解析函數的無窮可微性，所有可以認為解析函數的u(x,y),v(x,y)是D內的調和函數

第四章級數

級數的收斂、分散：級數是如同函數的使用嚴格分析的數學對象，當然，連續(xù)函數和級數其實是可以等價的表述。函數的展開，如同無窮小量的分級。

洛朗定理：

第五章留數

函數在孤立奇點的留數概念：不滿足柯西定理，即存在f(z)的孤立奇點z0時，該積分不一定等于0. f(z)在z0處的洛朗展開式中負一冪項的系數C-1就是留數，是積分的值。

留數定理：滿足狄利克雷條件，有

留數的計算法，特別是極點處留數的求法

第六章  共形映射

共形映射：幾何層次來理解復變函數，即對函數對應的曲線進行伸縮旋轉處理，伸縮率和旋轉角是曲線經映射后的局部變化的定量指標。

解析函數的映射的幾個重要性質；第一類保角映射，任意一點都具有保角性和伸縮率不變性。第二類保角映射，任意一點都具有保持曲線的交角的大小不變但方向相反和伸縮率不變性。

掌握分式線性映射的主要性質；可以視為各種平移、旋轉等等映射形成的新結構

掌握幾個初等函數構成的映射

第七章傅里葉變換

積分變換，是一種如同求解原函數的方法，把函數f(x)乘以一個確定的二元函數，然后計算積分，。而且卷積也是相似的對函數的遍歷。

傅里葉積分;理論上只要其滿足狄利克雷條件（連續(xù)或只有有限個第一類間斷點和只有有限個極值點，保證函數是可積函數.），周期函數可以以傅里葉級數逼近，即使不能，我們可以使用勒貝格積分，只要是連續(xù)的就可以進行積分運算。，可以根據歐拉公式轉換為。

傅里葉變換;

δ函數及傅里葉變換;

傅里葉變換的性質

第八章拉普拉斯變換

時域轉換為頻域，連續(xù)的變化表達為一系列離散的頻率的組合。

可以在代數方程層次計算微分方程的解，將其分解為部分分式之和，然后再利用拉普拉斯變換表求出象原函數，即微分方程的解。