復(fù)數(shù)是一種數(shù)域(對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算封閉）的突破，可以視為是更底層的抽象，而我們平常所能夠理解的實(shí)數(shù)是其選擇性表達(dá)的結(jié)果，這樣這種數(shù)學(xué)工具就有更加強(qiáng)大的對(duì)現(xiàn)實(shí)的解釋能力。對(duì)于特定的復(fù)雜的實(shí)函數(shù)的積分，我們可以通過升維到復(fù)數(shù)域，在這種更加底層的層次進(jìn)行我們所熟悉的運(yùn)算；對(duì)于微分方程也可以積分變換為一定的代數(shù)方程。三大變換，傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換是我們對(duì)復(fù)雜信號(hào)的分析和處理的有力工具。而小波分析，可能是我們想要的模式識(shí)別的具體實(shí)現(xiàn)。
第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)
1.復(fù)數(shù)的模是不是微積分的o(ρ)，其作為ρ=(x^2+y^2)^1/2是一種高維的關(guān)系，雖然在微積分的運(yùn)算中被忽略？
復(fù)數(shù)之間的比較不能用大小，我們可否引入新的測(cè)度？
幅角的運(yùn)算與指數(shù)的運(yùn)算相似、，這是i^2=-1帶來的復(fù)雜變換關(guān)系從而帶來一定的數(shù)學(xué)形式美。當(dāng)然其根底是牢靠的，是三角公式的運(yùn)算的結(jié)果。兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。其幾何意義是將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。
棣模佛(De Moivre)公式就是一種推廣，或者說是更一般的形式。當(dāng)K為特定的值時(shí)，可以視為有n個(gè)模相等但幅角相差一個(gè)常數(shù)，均勻分布在一個(gè)圓的點(diǎn)。這就是一種周期性。
要理解復(fù)平面，就必須在復(fù)球面理解，這是高維理解低維？還是一種由i^2=-1帶來的收斂？球面上的點(diǎn)，除去北極N外，都和復(fù)平面上的點(diǎn)之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng), 記作￥。球面上的北極 N就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大￥的幾何表示。其實(shí)作為一種如同微積分的無(wú)窮小量的一種奇異點(diǎn)，可能就是這種悖論式的描述上的其能夠收斂。
2.復(fù)變函數(shù)就是實(shí)函數(shù)的擴(kuò)展（函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一個(gè)復(fù)變函數(shù)可以表示為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù)的組合由于在特定情況下實(shí)部和虛部可以有一定的轉(zhuǎn)化，即一種相互作用），我們能夠得到更普適的規(guī)律，即在實(shí)數(shù)域可能是矛盾的但在復(fù)數(shù)域是可以理解的各種定理，這是高維對(duì)底層情況的包含，能夠在高維消除低維的矛盾。
基于集合論的各種定義，可以以一定的空間來表示這些集合。
嚴(yán)格的分析手段：對(duì)于任意確定的ε>0，總存在一個(gè)正數(shù)δ，使得對(duì)滿足0<∣z-z0∣<δ的一切z，都有∣f(z)-A∣<ε,則稱A為函數(shù)f(z)趨近于z0時(shí)的極限。只有ε、δ足夠小，我們就有很大的理由相信這極限是絕對(duì)存在的。極限思想是一種邊界。
函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)可微可積的基礎(chǔ)（不嚴(yán)格，存在特例）；復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性的充要條件是實(shí)部和虛部函數(shù)具有相對(duì)獨(dú)立的連續(xù)性。我們的追求是有一種相互作用的函數(shù)，可能需要在虛數(shù)的基礎(chǔ)上繼續(xù)抽象出更高次的封閉運(yùn)算，如五行（w=w,w^2=+/-w,w^3=-w,w^4=w^3=-w,w^5=w^2=+/-w，我們需要考慮運(yùn)算的先后順序如同矩陣乘法不滿足交換律，而且還存在共同的作用，我們需要引入博弈論來解釋其最后的均衡）之于陰陽(yáng)（i^2=-1自反律）。
變化的極限還是極限嗎？
3鄰域等等概念都是一套對(duì)所有元素的整體描述，是一種高維的概念，能夠在這個(gè)層次進(jìn)行各種運(yùn)算。這也是一種如同極限的奇異點(diǎn)，能夠形成如同悖論式的耦合的效果。所謂的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)都是如同無(wú)窮小量的底層元素。于是就有開集閉集區(qū)域（連通開集稱為區(qū)域）等等高維概念。這是一種抽象，也是一種升維。邊界的概念是我們的極限，也是運(yùn)算的基礎(chǔ)。如有界集，閉曲線等等。這種連通性的存在使得我們可以考慮其拓?fù)湫再|(zhì)。
第二章 解析函數(shù)
導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)，一種極限，是對(duì)變化率的求解，可以認(rèn)為攜帶不同維度的信息。如果在區(qū)域D內(nèi)都具有可導(dǎo)的性質(zhì)，稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。而微分體現(xiàn)的是可以以一定的無(wú)窮小量Δz的線性加和來逼近整體的變化趨勢(shì)。可導(dǎo)和可微是互逆的，可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)，可能需要用到勒貝格積分。解析的概念就是可導(dǎo)，就是連續(xù)，但這是一個(gè)整體的性質(zhì)。（解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析）其結(jié)果和數(shù)學(xué)分析的結(jié)論基本相同。
柯西-黎曼條件：解析函數(shù)(可導(dǎo)函數(shù))的實(shí)部和虛部不是完全獨(dú)立的，它們是柯西-黎曼方程的一組解；柯西-黎曼條件是復(fù)變函數(shù)解析的必要條件而非充分條件
解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系
初等函數(shù)：
指數(shù)函數(shù)，歐拉公式，多階導(dǎo)的不變性，加法定理，周期性
對(duì)數(shù)函數(shù)（多值函數(shù)），與幅角運(yùn)算的相似性。
冪函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反三角函數(shù)、反雙曲函數(shù)
初等復(fù)變多值函數(shù)的多值性是由于輻角的多值性引起的，w=Argz函數(shù)有無(wú)窮個(gè)不同的值： ，Argz的任意一個(gè)確定的值記為argz ，是一種降維的表達(dá)，如同微積分的無(wú)窮小量。幅角函數(shù)可以分解成無(wú)窮個(gè)單值連續(xù)分支；
第三章 復(fù)變函數(shù)的積分
復(fù)變函數(shù)的積分的概念和計(jì)算：累加計(jì)算，也是求極限，在這個(gè)層次微分和積分是互逆運(yùn)算。復(fù)函積分與路徑無(wú)關(guān)，其求的是更高維度的量，如同第二類曲線積分。
柯西定理和柯西公式：當(dāng)D是單連通區(qū)域，而f（z）是D上的解析函數(shù)時(shí)，復(fù)函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)，即f（ z ）在 D內(nèi)沿任意可求長(zhǎng)閉曲線積分為零。積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)相關(guān)。
閉路變形原理：在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變。這與拓?fù)湫再|(zhì)有一定的相關(guān)性，都是對(duì)不變性的描述。復(fù)合閉路定理
解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式：f(z)的各階導(dǎo)還是均在D中解析，有
原函數(shù)的加減運(yùn)算可以等同于函數(shù)的積分運(yùn)算。
格林公式：將區(qū)域積分的二重積分和曲線積分的一重積分進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化，是牛頓-萊布尼茨公式的推廣。是充要條件。
使用柯西公式進(jìn)行積分計(jì)算：
平均值公式及最大模原理
調(diào)和函數(shù)，二元實(shí)變函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足拉普拉斯方程，這可以與復(fù)變函數(shù)有一定的等價(jià)關(guān)系，由于解析函數(shù)的無(wú)窮可微性，所有可以認(rèn)為解析函數(shù)的u(x,y),v(x,y)是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)
第四章級(jí)數(shù)
級(jí)數(shù)的收斂、分散：級(jí)數(shù)是如同函數(shù)的使用嚴(yán)格分析的數(shù)學(xué)對(duì)象，當(dāng)然，連續(xù)函數(shù)和級(jí)數(shù)其實(shí)是可以等價(jià)的表述。函數(shù)的展開，如同無(wú)窮小量的分級(jí)。
洛朗定理：
第五章留數(shù)
函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)概念：不滿足柯西定理，即存在f(z)的孤立奇點(diǎn)z0時(shí)，該積分不一定等于0. f(z)在z0處的洛朗展開式中負(fù)一冪項(xiàng)的系數(shù)C-1就是留數(shù)，是積分的值。
留數(shù)定理：滿足狄利克雷條件，有
留數(shù)的計(jì)算法，特別是極點(diǎn)處留數(shù)的求法
第六章 共形映射
共形映射：幾何層次來理解復(fù)變函數(shù)，即對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線進(jìn)行伸縮旋轉(zhuǎn)處理，伸縮率和旋轉(zhuǎn)角是曲線經(jīng)映射后的局部變化的定量指標(biāo)。
解析函數(shù)的映射的幾個(gè)重要性質(zhì)；第一類保角映射，任意一點(diǎn)都具有保角性和伸縮率不變性。第二類保角映射，任意一點(diǎn)都具有保持曲線的交角的大小不變但方向相反和伸縮率不變性。
掌握分式線性映射的主要性質(zhì)；可以視為各種平移、旋轉(zhuǎn)等等映射形成的新結(jié)構(gòu)
掌握幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的映射
第七章傅里葉變換
積分變換，是一種如同求解原函數(shù)的方法，把函數(shù)f(x)乘以一個(gè)確定的二元函數(shù)，然后計(jì)算積分，。而且卷積也是相似的對(duì)函數(shù)的遍歷。
傅里葉積分;理論上只要其滿足狄利克雷條件（連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和只有有限個(gè)極值點(diǎn)，保證函數(shù)是可積函數(shù).），周期函數(shù)可以以傅里葉級(jí)數(shù)逼近，即使不能，我們可以使用勒貝格積分，只要是連續(xù)的就可以進(jìn)行積分運(yùn)算。，可以根據(jù)歐拉公式轉(zhuǎn)換為。
傅里葉變換;
δ函數(shù)及傅里葉變換;
傅里葉變換的性質(zhì)
第八章拉普拉斯變換
時(shí)域轉(zhuǎn)換為頻域，連續(xù)的變化表達(dá)為一系列離散的頻率的組合。
可以在代數(shù)方程層次計(jì)算微分方程的解，將其分解為部分分式之和，然后再利用拉普拉斯變換表求出象原函數(shù)，即微分方程的解。
