復(fù)數(shù)是一種數(shù)域(對加、減、乘、除運(yùn)算封閉）的突破，可以視為是更底層的抽象，而我們平常所能夠理解的實數(shù)是其選擇性表達(dá)的結(jié)果，這樣這種數(shù)學(xué)工具就有更加強(qiáng)大的對現(xiàn)實的解釋能力。對于特定的復(fù)雜的實函數(shù)的積分，我們可以通過升維到復(fù)數(shù)域，在這種更加底層的層次進(jìn)行我們所熟悉的運(yùn)算；對于微分方程也可以積分變換為一定的代數(shù)方程。三大變換，傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換是我們對復(fù)雜信號的分析和處理的有力工具。而小波分析，可能是我們想要的模式識別的具體實現(xiàn)。

第一章　復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1.復(fù)數(shù)的模是不是微積分的o(ρ)，其作為ρ=(x^2+y^2)^1/2是一種高維的關(guān)系，雖然在微積分的運(yùn)算中被忽略？

復(fù)數(shù)之間的比較不能用大小，我們可否引入新的測度？

幅角的運(yùn)算與指數(shù)的運(yùn)算相似、，這是i^2=-1帶來的復(fù)雜變換關(guān)系從而帶來一定的數(shù)學(xué)形式美。當(dāng)然其根底是牢靠的，是三角公式的運(yùn)算的結(jié)果。兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。其幾何意義是將復(fù)數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。

棣模佛(De Moivre)公式就是一種推廣，或者說是更一般的形式。當(dāng)K為特定的值時，可以視為有n個模相等但幅角相差一個常數(shù)，均勻分布在一個圓的點。這就是一種周期性。

要理解復(fù)平面，就必須在復(fù)球面理解，這是高維理解低維？還是一種由i^2=-1帶來的收斂？球面上的點，除去北極N外，都和復(fù)平面上的點之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，而復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點相對應(yīng), 記作￥。球面上的北極 N就是復(fù)數(shù)無窮大￥的幾何表示。其實作為一種如同微積分的無窮小量的一種奇異點，可能就是這種悖論式的描述上的其能夠收斂。

2.復(fù)變函數(shù)就是實函數(shù)的擴(kuò)展（函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，一個復(fù)變函數(shù)可以表示為一對二元實變函數(shù)的組合由于在特定情況下實部和虛部可以有一定的轉(zhuǎn)化，即一種相互作用），我們能夠得到更普適的規(guī)律，即在實數(shù)域可能是矛盾的但在復(fù)數(shù)域是可以理解的各種定理，這是高維對底層情況的包含，能夠在高維消除低維的矛盾。

基于集合論的各種定義，可以以一定的空間來表示這些集合。

嚴(yán)格的分析手段：對于任意確定的ε>0，總存在一個正數(shù)δ，使得對滿足0<∣z-z0∣<δ的一切z，都有∣f(z)-A∣<ε,則稱A為函數(shù)f(z)趨近于z0時的極限。只有ε、δ足夠小，我們就有很大的理由相信這極限是絕對存在的。極限思想是一種邊界。

函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)可微可積的基礎(chǔ)（不嚴(yán)格，存在特例）；復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性的充要條件是實部和虛部函數(shù)具有相對獨立的連續(xù)性。我們的追求是有一種相互作用的函數(shù)，可能需要在虛數(shù)的基礎(chǔ)上繼續(xù)抽象出更高次的封閉運(yùn)算，如五行（w=w,w^2=+/-w,w^3=-w,w^4=w^3=-w,w^5=w^2=+/-w，我們需要考慮運(yùn)算的先后順序如同矩陣乘法不滿足交換律，而且還存在共同的作用，我們需要引入博弈論來解釋其最后的均衡）之于陰陽（i^2=-1自反律）。

變化的極限還是極限嗎？

3鄰域等等概念都是一套對所有元素的整體描述，是一種高維的概念，能夠在這個層次進(jìn)行各種運(yùn)算。這也是一種如同極限的奇異點，能夠形成如同悖論式的耦合的效果。所謂的內(nèi)點、外點、邊界點都是如同無窮小量的底層元素。于是就有開集閉集區(qū)域（連通開集稱為區(qū)域）等等高維概念。這是一種抽象，也是一種升維。邊界的概念是我們的極限，也是運(yùn)算的基礎(chǔ)。如有界集，閉曲線等等。這種連通性的存在使得我們可以考慮其拓?fù)湫再|(zhì)。

第二章  解析函數(shù)

導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)，一種極限，是對變化率的求解，可以認(rèn)為攜帶不同維度的信息。如果在區(qū)域D內(nèi)都具有可導(dǎo)的性質(zhì)，稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。而微分體現(xiàn)的是可以以一定的無窮小量Δz的線性加和來逼近整體的變化趨勢。可導(dǎo)和可微是互逆的，可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)，可能需要用到勒貝格積分。解析的概念就是可導(dǎo)，就是連續(xù)，但這是一個整體的性質(zhì)。（解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析）其結(jié)果和數(shù)學(xué)分析的結(jié)論基本相同。

柯西-黎曼條件：解析函數(shù)(可導(dǎo)函數(shù))的實部和虛部不是完全獨立的，它們是柯西-黎曼方程的一組解；柯西-黎曼條件是復(fù)變函數(shù)解析的必要條件而非充分條件

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

初等函數(shù)：

指數(shù)函數(shù)，歐拉公式，多階導(dǎo)的不變性，加法定理，周期性

對數(shù)函數(shù)（多值函數(shù)），與幅角運(yùn)算的相似性。

冪函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反三角函數(shù)、反雙曲函數(shù)

初等復(fù)變多值函數(shù)的多值性是由于輻角的多值性引起的，w=Argz函數(shù)有無窮個不同的值： ，Argz的任意一個確定的值記為argz ，是一種降維的表達(dá)，如同微積分的無窮小量。幅角函數(shù)可以分解成無窮個單值連續(xù)分支；

第三章  復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)變函數(shù)的積分的概念和計算：累加計算，也是求極限，在這個層次微分和積分是互逆運(yùn)算。復(fù)函積分與路徑無關(guān)，其求的是更高維度的量，如同第二類曲線積分。

柯西定理和柯西公式：當(dāng)D是單連通區(qū)域，而f（z）是D上的解析函數(shù)時，復(fù)函數(shù)的積分與路徑無關(guān)，即f（ z ）在 D內(nèi)沿任意可求長閉曲線積分為零。積分只與起點和終點相關(guān)。

閉路變形原理：在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變。這與拓?fù)湫再|(zhì)有一定的相關(guān)性，都是對不變性的描述。復(fù)合閉路定理

解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式：f(z)的各階導(dǎo)還是均在D中解析，有

原函數(shù)的加減運(yùn)算可以等同于函數(shù)的積分運(yùn)算。

格林公式：將區(qū)域積分的二重積分和曲線積分的一重積分進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化，是牛頓-萊布尼茨公式的推廣。是充要條件。

使用柯西公式進(jìn)行積分計算：

平均值公式及最大模原理

調(diào)和函數(shù)，二元實變函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足拉普拉斯方程，這可以與復(fù)變函數(shù)有一定的等價關(guān)系，由于解析函數(shù)的無窮可微性，所有可以認(rèn)為解析函數(shù)的u(x,y),v(x,y)是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)

第四章級數(shù)

級數(shù)的收斂、分散：級數(shù)是如同函數(shù)的使用嚴(yán)格分析的數(shù)學(xué)對象，當(dāng)然，連續(xù)函數(shù)和級數(shù)其實是可以等價的表述。函數(shù)的展開，如同無窮小量的分級。

洛朗定理：

第五章留數(shù)

函數(shù)在孤立奇點的留數(shù)概念：不滿足柯西定理，即存在f(z)的孤立奇點z0時，該積分不一定等于0. f(z)在z0處的洛朗展開式中負(fù)一冪項的系數(shù)C-1就是留數(shù)，是積分的值。

留數(shù)定理：滿足狄利克雷條件，有

留數(shù)的計算法，特別是極點處留數(shù)的求法

第六章  共形映射

共形映射：幾何層次來理解復(fù)變函數(shù)，即對函數(shù)對應(yīng)的曲線進(jìn)行伸縮旋轉(zhuǎn)處理，伸縮率和旋轉(zhuǎn)角是曲線經(jīng)映射后的局部變化的定量指標(biāo)。

解析函數(shù)的映射的幾個重要性質(zhì)；第一類保角映射，任意一點都具有保角性和伸縮率不變性。第二類保角映射，任意一點都具有保持曲線的交角的大小不變但方向相反和伸縮率不變性。

掌握分式線性映射的主要性質(zhì)；可以視為各種平移、旋轉(zhuǎn)等等映射形成的新結(jié)構(gòu)

掌握幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射

第七章傅里葉變換

積分變換，是一種如同求解原函數(shù)的方法，把函數(shù)f(x)乘以一個確定的二元函數(shù)，然后計算積分，。而且卷積也是相似的對函數(shù)的遍歷。

傅里葉積分;理論上只要其滿足狄利克雷條件（連續(xù)或只有有限個第一類間斷點和只有有限個極值點，保證函數(shù)是可積函數(shù).），周期函數(shù)可以以傅里葉級數(shù)逼近，即使不能，我們可以使用勒貝格積分，只要是連續(xù)的就可以進(jìn)行積分運(yùn)算。，可以根據(jù)歐拉公式轉(zhuǎn)換為。

傅里葉變換;

δ函數(shù)及傅里葉變換;

傅里葉變換的性質(zhì)

第八章拉普拉斯變換

時域轉(zhuǎn)換為頻域，連續(xù)的變化表達(dá)為一系列離散的頻率的組合。

可以在代數(shù)方程層次計算微分方程的解，將其分解為部分分式之和，然后再利用拉普拉斯變換表求出象原函數(shù)，即微分方程的解。